Bài toán 1: Cho đường tròn (O;R) và hình vuông có cạnh a (a > 2R). Trên (O;R) lấy điểm M bất kì, trên hình vuông lấy điểm N bất kì, Gọi I là trung điểm của MN. Tìm quỹ tích của điểm I khi M, N lần lượt di động trên các đường tròn và hình vuông trên. Khi khảo sát bài toán này trên phần mềm Cabri ta làm theo trình tự sau:
+ Vẽ đường tròn (O;R) và hình vuông cạnh a.
+ Lấy M, N lần lượt thuộc đường tròn và hình vuông, chọn đoạn MN rồi vào Midpoint (chức năng phần mềm CabriII plus) để xác định trung điểm I.
+ Vào Locus rồi chọn I và chọn M ta đợc quỹ tích của điểm I theo M (lúc đó coi như N cố định) là đường tròn (O’; R/2) như sau:
+ Vào Trace on/off rồi chọn (O’) và vào Animation sau đó chọn N ta được dấu vết quỹ tích của (O’) như hình dưới đây:
Hình có màu nền đỏ chính là quỹ tích điểm I. Như vậy quỹ tích điểm I là một hình vuông bít tròn bốn góc và có lỗ thủng hình vuông ở trung tâm. Vậy miền quỹ tích đó được xác định cụ thể bằng suy luận như thế nào ?
Phần thuận:
Trước hết ta thấy nếu cố định N và M chuyển động trên (O;R) thì quỹ tích trung điểm I là đường tròn (O’;R/2) với O’ là trung điểm của ON.
Dễ thấy quỹ tích của O’ khi N chuyển động là hình vuông cạnh a/2 có tâm K’ (là trung điểm của OK). Ta xét hình thù của phần mặt phẳng mà (O’;R/2) quét lên khi O’ chuyển động trên hình vuông A’B’C’D’:
Khi O’ chạy trên cạnh A’B’, B’C’, C’D’, D’A’ thì đường tròn (O’) lần lượt quét lên mặt phẳng các lục giác cong A1B1UF1E1E, B1UJC1XY, JC1D1VH1G1, D1VTA1ZW. Vì điều kiện a >2R nên các lục giác cong này không lấp đầy hình vuông mà còn để khuyết một khoảng là hình vuông có cạnh bằng (a/2)-R nằm ở trung tâm hình vuông A’B’C’D’.
Phần đảo:
Lấy điểm I’ bất kì thuộc thuộc một trong 6 lục giác nêu trên, giả sử I’ thuộc lục giác A1B1UF1E1T (các trường hợp khác chứng minh tương tự).
Dựng đường tròn (I’; R/2), vì I’ thuộc lục giác nên (I’) cắt TU tại ít nhất một điểm, gọi một trong các giao điểm đó là O’. Vì A’là trung điểm của OA và A’O’//AM’ (M’ là giao điểm của OO’ và AB) suy ra O’ là trung điểm của OM’. Dựng bán kính ON’ của đường tròn (O’) song song với O’I’, lại có O’I’ = ON’/2 suy ra I’ là trung điểm của M’N’.
Vậy quỹ tích điểm I là hình vuông có kích thước (a/2)+R có bít tròn bốn góc bởi các 1/4 đường tròn bán kính R/2, ở trung tâm bị rỗng bởi một hình vuông kích thước bằng (a/2)-R.
* Nhận xét: Bài toán trên ta xét quỹ tích điểm I trong trường hợp (a/2)>R. Vậy trong các trường hợp khác thì sao?
+ Nếu (a/2)< R ta có hình như miền quỹ tích điểm I như sau:
+ Nếu R >(a/2) ta có hình như miền quỹ tích điểm I như sau:
Việc chứng minh bài toán trong các trường hợp này xin dành cho bạn đọc.
Đặng Văn Biểu-THCS Đô
|
Tìm kiếm
Xem giỏ hàng
Khách: 11
Thành viên: 0
Tổng cộng: 11
