Nếu nhìn vào bài toán trên với cách giải quyết của người lập trình thì vấn đề trở nên rất đơn giản. Từ công thức xác định của hàm f, ta dễ dàng viết được chương trình để tính giá trị hàm f. Hàm f có giá trị được tính theo số mũ lớn nhất của lũy thừa 2 khi ta phân tích số n ra thừa số nguyên tố. (chương trình viết bằng ngôn ngữ C)

Int somu_2(int n)

{

if(n%2==1) return 1

int k =n, t;

while(k%2==0)

t++;

k /=2;

return t;

}

Đoạn chươngtrình tiếp theo chỉ cần 1 vòng lặp while giới hạn đối với tổng của các hàm f là đủ, vì số đề bài ra 123456 không lớn lắm nên chương trình sẽ nhanh chóng kết thúc.

Nhưng bạn cùng tôi đều có thể thấy được, như vậy sẽ không có gì để nói về bài toán này cả. Chúng ta hãy cùng nhau phân tích thêm 1 chút để phát hiện thêm 1 số nhận xét hay hơn từ đề bài.

Bước thứ nhất như ta đã nói, công thức hàm f xác định như trên chính là số mũ lớn nhất của thừa số 2 khi ta phân tích ra thừa số nguyên tố. (Nếu thay đổi đề bài lại 1 chút, nếu giá trị f xác định tại những số lẻ =0 thì ta có thể thấy tổng các hàm f từ 1 đến n chính là tổng các số mũ 2 nhận được khi ta tính n!, và quay về bài toán quen thuộc: Tìm n để n! chia hết cho 2¹²³⁴⁵⁶).

Bây giờ ta kí hiệu tổng vế trái là F(n).Từ công thức xác định f, ta có thể dễ dàng tính được giá trị tổng F tại các giá trị đặc biệt dạng 2^k.

Nhận xét 1:

Kí hiệu Ai là tập hợp các số có số mũ lũy thừa 2 là i. | Ai | là số các phần tử trong nó. Dễ thấy |Ai| = 2^k-i

F(2^k) = { tổng các f(Ai), i =1,2,..,k} + { tổng các f tại các số lẻ nhỏ hơn 2^k}- { tổng các giá trị f tại các giá trị thuộc giao chung các tập hợp trên).

Dễ thấy giá trị thừa số thứ nhất =Tổng { i*| Ai | }. Giá trị thứ 2 = { số các số lẻ nhỏ hơn nó }(dễ tính bằng 2 ^k-1) (1)

Vấn đề là cần tính giá trị thừa số thứ 3, tức là cần phải đếm số các giá trị đã bị liệt kê khi ta tìm các số thuộc tập Ai. Ta cần thêm 1 nhận xét.

Cũng như trên, ta thấy ngoài việc loại trừ các số lẻ ra, tổng trên chính là việc đếm số lượt thừa số 2 xuất hiện khi lần lượt xét từ 1đến n = 2^k. Mỗi khi gặp 1 số có số mũ 2, thay vì liệt kê số mũ, ta đánh dấu nó và giảm số mũ đi 1. Sau khi đi hết, ta lại quay lại lần nữa để đếm các thừa số mũ 2 còn và lại đánh dấu lại… Vì vậy số lượng số mũ 2 chính bằng tổng số lượng các phần tử | Ai | . Vậy ta có thể tính được giá trị tổng này bằng:

1 + 2¹ +…2^k-1 = 2^k - 1 (2)

Kết hợp giữa (1) và (2) ta được:

F(2^k) =2^k+ 2^k-1- 1. Vậy ta có thể tính được giá trị tổng tại các điểm đặc biệt

Nhận xét 2:

Với 2 giá trị i

Từ nhận xét này ta dễ thấy, nếu ta chọn được số i sao cho 2ⁱ< n < 2ⁱ⁺¹ thì F(2ⁱ) < F(n) < F(2ⁱ⁺¹).

Từ nhận xét này ta sẽ có hướng giải quyết bài toán theo hướng đơn giản hơn, tìm các chỉ số mũ i và i+1 như trên rồi so sánh giá trị tại đó ( đã tính được ở bước trên) với giá trị cần xét.

Nhận xét 3:Quan trọng nhất.

Khi ta tìm được giá trị i như trên, phần so sánh tổng còn lại từ f(2ⁱ +1) đến f(n) với giá trị mới ( = giá trị đề bài – tổng F(2ⁱ)) để tìm n cũng có thể giải quyết hoàn toàn như trên với giá trị mới cần tìm = n – 2ⁱ.

Thật vậy, từ cách tính f như trên ta có thể thấy giá trị f cũng như giá trị tổng F không thay đổi (hay không phụ thuộc) tại các giá trị mốc tính 2ⁱ ban đầu.

Từ nhận xét 3 trên ta có thể đưa ra 1 cách giải hiệu quả như sau. Đầu tiên ta tìm 1 giá trị i sao cho F(2ⁱ) < 123456 < F(2ⁱ⁺¹). Tiếp theo ta tính khoảng cách còn thiếu giữa 123456 và F(2ⁱ) để tiếp tục áp dụng phương pháp này để tìm giá trị mới. (Các bước thực hiện sẽ có số mũ giảm dần cho đến khi ta tìm được giá trị n lớn nhất thỏa mãn).

Từ 3 nhận xét trên ta có thể đưa ra 1 thuật giải đẹp cho việc giải quyết bài toán. Giá trị đề bài yêu cầu cũng có thể được mở rộng lớn hơn rất nhiêu. Nếu thích, bạn có thể lập trình để đưa ra 1 thuật toán đệ quy chia đôi điển hình để tiếp tục giải quyết.

NamTB

School@net