Trước khi đọc bài viết này, nếu bạn chưa có khái niệm gì về ma trận, bạn có thể tham khảo định nghĩa về ma trận trong một tài liệu khác.

Trước hết, tôi xin nhắc lại tóm tắt khái niệm về phép nhân ma trận:

Cho 2 ma trận: A kích thước MxN và B kích thước NxP.

Kết quả phép nhân ma trận A và B là ma trận C kích thước MxP, với mỗi phần tử của ma trận C được tính theo công thức:

Để thực hiện phép nhân ma trận trên máy tính, ta có thể thực hiện thuật toán với độ phức tạp O(MNP) như sau:

for i:=1 to M do

for j:=1 to P do

begin

C[i,j]:=0;

for k:=1 to N do

C[i,j]:=C[i,j]+A[i,k]*B[k,j];

end;

(đối với phép nhân các ma trận vuông kích thước NxN, có thuật toán nhân ma trận Strassen với độ phức tạp O(N^log7) theo tư tưởng chia nhỏ ma trận (giống với cách nhân nhanh 2 số lớn)) tuy nhiên cài đặt rất phức tạp và nói chung không cần thiết. Thông thường, với các bài toán chúng ta gặp, phép nhân ma trận có độ phức tạp O(N³) là đủ).

Cần chú ý thêm là phép nhân ma trận không có tính giao hoán (do có thể thực hiện nhân 2 ma trận A kích thước MxN và ma trận B kích thước NxP nhưng không thể thực hiện phép nhân B*A nếu P ≠ M) nhưng có tính kết hợp:

(A*B)*C = A*(B*C)

Ví dụ 1:

Trước hết, chúng ta hãy cùng xem xét một ví dụ kinh điển nhất trong ứng dụng của phép nhân ma trận, mà thông thường ai đã học qua phần này đều biết.

Dãy Fibonacci được định nghĩa như sau:

F₀= 1

F₁= 1

...

F_i= F_i-1 + F_i-1 (i ³ 2)

Yêu cầu: Cho N (N ≤ 10⁹), tính F_N

Phân tích:

Hiển nhiên cách làm thông thường là tính lần lượt các F_i. Tuy nhiên, cách làm này hoàn toàn không hiện quả với N lên đến 10⁹, và ta cần một cách tiếp cận khác:

Ta xét các lớp số:

Lớp 1:F₁, F₂

Lớp 2: F₂, F₃

...

Lớp i: F_i, F_i+1

Ta hình dung mỗi lớp là một ma trận 1x2. Tiếp đó, ta sẽ biến đổi từ lớp i-1 đến lớp i. Sau mỗi lần biến đổi như vậy, ta tính thêm được F_i+1. Để thực hiện phép biến đổi này, chú ý là các số ở lớp sau chỉ phụ thuộc vào lớp ngay trước nó theo các phép cộng, ta tìm được cách biến đổi bằng nhân ma trận:

(Chắc hẳn đọc đến đây bạn đọc sẽ thắc mắc, làm thế nào để tìm được ma trận

Để tìm được ma trận này, ta làm như sau:

Ta có:

F_i = 0* F_i-1 +1* F_i nên hàng đầu của ma trận là 0 1

F_i+1 = 1* F_i-1 +1* F_i nên hàng hai của ma trận là 1 1 )

Bây giờ ta sẽ cần tìm cách tăng tốc việc tính . Việc tính nhanh (*) cũng hoàn toàn tương tự việc ta tính a^T với a là số nguyên. Sau đây là đoạn code minh hoạ. Trong đoạn code này, để bạn đọc dễ hiểu, tôi bỏ qua yếu tố về tính toán số lớn, và thực hiện các phép tính với kiểu số longint

type

matrix=array[0..1,0..1] of longint;

const

a: matrix=((0,1),(1,1));

//Định nghĩa phép nhân 2 ma trận

operator * (a,b:matrix) c:matrix;

var

i,j,k:longint;

begin

fillchar(c,sizeof(c),0);

for i:=0 to 1 do

for j:=0 to 1 do

for k:=0 to 1 do

c[i,j]:=c[i,j]+a[i,k]*b[k,j];

end;

//Tính a^n

function power(n:longint):matrix;

var

temp:matrix;

begin

if n=1 then exit(a);

temp:=cal(n div 2);

temp:=temp*temp;

if n mod 2=1 then temp:=temp*a;

exit(temp);

end;

Ví dụ 2:

Tiếp theo, chúng ta sẽ cùng xem xét một ví dụ tổng quát hơn của ví dụ 1.

Cho số nguyên N (N ≤ 100) và 2 dãy số a₁, a₂, ..., a_N ;b₁, b₂, ..., b_N. Dãy số c được định nghĩa như sau:

Yêu cầu: Tính c_k với k ≤ 10⁹.

(Nguồn bài: http://www.spoj.pl/problems/SEQ/ . Sau khi code các bạn có thể vào http://www.spoj.pl/register/để đăng ký thành viên và gửi bài để kiểm tra tính đúng đắn của bài làm của mình)

Phân tích:

Cũng như trong ví dụ 1, ta xét các lớp số:

Lớp 1: c₁, c₂, ..., c_N

Lớp 2: c₂, c₃, ..., c_N+1

...

Lớp i: c_i, c_i+1, ..., c_i+N-1

Ta cũng sẽ áp dụng phép nhân ma trận để biến đổi từ lớp i sang lớp i+1 như sau:

(Để xây dựng ma trận vuông như trên, ta thực hiện tương tự như trong ví dụ trước:

Phân tích a_i+1đến a_i+N dưới dạng a_i đến a_i+N-1

a_i+1= 0*a_i + 1*a_i+1 + ... + 0*a_i+N-1 nên hàng 1 là 0 1 0 ... 0

...

a_i+N-1= 0*a_i + 0*a_i+1 + ... + 1*a_i+N-1 nên hàng N-1 là 0 0 0 ... 1

a_i+N= b_N*a_i + b_N-1*a_i+1+ ... + b₁*a_i+N-1 nên hàng N là b_N, b_N-1, ..., b₁ )

Từ đó, ta thu được cách làm như trong ví dụ 1. Cài đặt cụ thể xin nhường lại cho bạn đọc.

Chú ý rằng ta hoàn toàn có thể thay thế phép nhân và phép cộng trong định nghĩa phép nhân ma trận. Cụ thể hơn, thay vì , ta có thể tính . Từ đó, ta có thể thu được một lớp các bài toán khác.

Sau đây là một ví dụ minh hoạ cho nhóm các bài toán này

Ví dụ 3:

Cho đồ thị có hướng N đỉnh (N ≤ 100). Tính ma trận C_kkích thước NxN, với C_k[i,j] = độ dài đường đi ngắn nhất từ i đến j đi qua đúng k cạnh

Phân tích:

Xét ma trận A là ma trận kề của đồ thị đã cho. Hiển nhiên A = C₁

C₂[i,j] = min (A[i,u] + A[u,j]) với u chạy từ 1 đến N

C_k[i,j] = min (C_k-1[i,u] + A[u,j]) với u chạy từ 1 đến N

Như vậy, nếu ta thay phép nhân và phép cộng trong việc nhân ma trận thông thường lần lượt bởi phép cộng và phép lấy min, ta thu được một phép ”nhân ma trận” mới, tạm ký hiệu là Ä, thì

Như vậy, bài toán được đưa về bài toán tính lũy thừa của một ma trận, ta hoàn toàn có thể giải tương tự các ví dụ trước. Cài đặt phép nhân ma trận mới này hoàn toàn không phức tạp hơn cài đặt phép nhân ma trận thông thường. Việc cài đặt xin nhường lại cho bạn đọc.

Ví dụ 4:

Tóm tắt đề:

Người ta mới tìm ra một loại vi khuẩn mới. Chúng sống thành N bầy (N ≤ 100), đánh số từ 0 đến N-1. Ban đầu, mỗi bầy này chỉ có một con vi khuẩn. Tuy nhiên, mỗi giây, số lượng vi khuẩn trong các bầy lại có sự thay đổi. Ví dụ: một bầy có thể bị chết đi, số lượng vi khuẩn trong một bầy có thể tăng lên, hoặc một bầy có thể di chuyển vị trí. Các thay đổi này tuân theo một số quy luật cho trước. Tại mỗi giây chỉ xảy ra một quy luật. Các quy luật này được thực hiện nối tiếp nhau và theo chu kỳ. Có nghĩa là, nếu đánh số các quy luật từ 0 đến M-1, tại giây thứ S thì quy luật được áp dụng sẽ là (S-1) mod M (M ≤ 1000)

Nhiệm vụ của bạn là tìm xem, với một bộ các quy luật cho trước, sau T đơn vị thời gian (T ≤ 10¹⁸), mỗi bầy có bao nhiêu vi khuẩn.

Các loại quy luật có thể có:

• A i 0: Tất cả các vi khuẩn thuộc bầy i chết.
• B i k: Số vi khuẩn trong bầy i tăng lên k lần
• C i j: số vi khuẩn bầy thứ i tăng lên một số lượng = số vi khuẩn bầy j
• D i j: Các vi khuẩn thuộc bầy j di chuyển toàn bộ sang bầy i
• E i j: Các vi khuẩn thuộc bầy i và bầy j đổi vị trí cho nhau
• F 0 0: Vị trí các vi khuẩn di chuyển trên vòng tròn.

(IPSC 2003)

Phân tích

Cách làm đơn giản nhất là chúng ta mô phỏng lại số lượng vi khuẩn trong mỗi bầy qua từng đơn vị thời gian. Cách làm này có độ phức tạp O(T*N*(độ phức tạp xử lý số lớn)) và không thể chạy được với những test lớn.

Ta hình dung số lượng vi khuẩn trong mỗi bầy trong một đơn vị thời gian là một dãy số. Như vậy, mỗi quy luật cho trước thực chất là một phép biến đổi từ một dãy số thành một dãy số mới, và ta hoàn toàn có thể thực hiện biến đổi này bằng một phép nhân ma trận.

Cụ thể hơn, ta coi số lượng vi khuẩn trong N bầy tại một thời điểm xác định là một ma trận 1xN, và mỗi phép biến đổi là một ma trận NxN. Khi áp dụng mỗi phép biến đổi, ta nhân hai ma trận nói trên với nhau.

Bây giờ, xét trường hợp N = 4, tôi xin lần lượt mô tả các ma trận tương ứng với các phép biến đổi:

Cũng như các bài toán trước, ta sẽ cố gắng áp dụng việc tính toán lũy thừa, kết hợp với phép nhân ma trận để giảm độ phức tạp từ T xuống logT. Tuy nhiên, có thể thấy việc sử dụng phép lũy thừa trong bài toán này phần nào phức tạp hơn bởi các ma trận được cho không giống nhau. Để giải quyết vấn đề này, ta làm như sau:

Gọi là các ma trận tương ứng với các phép biến đổi được cho. Đặt . Đặt (dãy số lượng vi khuẩn tại thời điểm đầu tiên). Như vậy , là ma trận thể hiện số lượng vi khuẩn tại thời điểm M*t + r. Như vậy, thuật toán đến đây đã rõ. Ta phân tích T = M*t + r, nhờ đó, ta có thể giải quyết bài toán trong O(N³ * M) cho bước tính ma trận X, O(N³*(log(T/M)+M) cho bước tính Y. Bài toán được giải quyết.

Nguyễn Thành Trung

School@net