1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

1?. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng là đồ thị của hàm số:

a) Tìm tung độ của hai điểm M₀ và M nằm trên , có hoành độ lần lượt là 2 và 6.

b) Cho vectơ = (2;1). Hãy chứng tỏ cùng phương với .

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch3_h3.2.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Định nghĩa

Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu và giá của song song hoặc trùng với .

Nhận xét

- Nếu là một vectơ chỉ phương của đường thẳng thì cũng là một vectơ chỉ phương của . Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

a) Định nghĩa

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận (u₁;u₂) làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm M(x;y) bất kì trong mặt phẳng, ta có . Khi đó:

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch3_h3.3.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng , trong đó t là tham số.

Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng .

2?. Hãy tìm một điểm có tọa độ xác định và một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình tham số.

b) Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng có phương trình tham số:

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch3_h3.4a.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch3_h3.4b.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Gọi A là giao điểm của với trục hoành. Av là tia thuộc ở về nửa mặt phẳng tọa độ phía trên (chứa tia Oy). Đặt , ta thấy . Số k chính là hệ số góc của đường thẳng mà ta đã biết ở lớp 9.

Như vậy, nếu đường thẳng có vectơ chỉ phương (u₁;u₂) với u₁ 0 thì có hệ số góc .

3?. Tính hệ số góc của đường thẳng d có vectơ chỉ phương là

Ví dụ. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm A(2;3) và B(3;1). Tính hệ số góc của d.

Giải:

Vì d đi qua A(2;3) và B(3;1) nên d có vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của d là:

Hệ số góc của d là:

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

4?. Cho đường thẳng có phương trình:

Hãy chứng tỏ vuông góc với vectơ chỉ phương của .

Định nghĩa

Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu và vuông góc với vectơ chỉ phương của .

Nhận xét

- Nếu là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì cũng là một vectơ pháp tuyến của . Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch3_h3.5.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận (a;b) làm vectơ pháp tuyến.

Với mỗi điểm M(x;y) bất kì thuộc mặt phẳng, ta có:

a) Định nghĩa

Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Nhận xét. Nếu đường thẳng có phương trình là ax + by + c = 0 thì có vectơ pháp tuyến là (a;b) và có vectơ chỉ phương là = (-b;a).

5?. Hãy chứng minh nhận xét trên.

b) Ví dụ. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A(2;2) và B(4;3).

Giải:

Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nên có vectơ chỉ phương là

Từ đó suy ra có vectơ pháp tuyến là = (-1;2). Vậy đường thẳng có phương trình tổng quát là:

(-1).(x - 2) + 2(y - 2) = 0

hay x - 2y + 2 = 0.

6?. Hãy tìm tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình:

3x + 4y + 5 = 0.

c) Các trường hợp đặc biệt

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch3_h3.6.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch3_h3.7.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch3_h3.8.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch3_h3.9.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Phương trình (2) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a₀;0) và N(0;b₀) (h.3.9).

7?. Trong mặt phẳng Oxy hãy vẽ các đường thẳng có phương trình sau đây:

d₁: x - 2y = 0

d₂: x = 2

d₃: y + 1 = 0

d₄: x/8 + y/4 = 1

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng và có phương trình tổng quát lần lượt là:

a₁x + b₁y + c₁ = 0 và a₂x + b₂y + c₂ = 0

Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình:

Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (I) có một nghiệm (x₀;y₀), khi đó cắt tại điểm M₀(x₀;y₀).

b) Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó trùng với .

c) Hệ (I) vô nghiệm, khi đó và không có điểm chung, hay song song với .

Ví dụ. Cho đường thẳng d có phương trình x - y + 1 = 0, xét vị trí tương đối của d với mỗi đường thẳng sau:

Giải:

a) Xét d và , hệ phương trình

có nghiệm (1;2).

Vậy d cắt tại M(1;2) (h.3.10).

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch3_h3.10.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

b) Xét d và , hệ phương trình:

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch3_h3.11.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

c) Xét d và , hệ phương trình:

có vô số nghiệm (vì các hệ số của (1) và (2) tỉ lệ).

Vậy (h.3.12).

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch3_h3.12.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

8?. Xét vị trí tương đối của đường thẳng : x - 2y + 1 = 0 với mỗi đường thẳng sau:

d₁: -3x + 6y - 3 = 0

d₂: y = - 2x

d₃: 2x + 5 = 4y.

6. Góc giữa hai đường thẳng

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch3_h3.13.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Hai đường thẳng và cắt nhau tạo thành bốn góc. Nếu không vuông góc với thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Nếu vuông góc với thì ta nói góc giữa và bằng 90⁰.

Trường hợp và song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa và bằng 0⁰. Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 90⁰.

Góc giữa hai đường thẳng và được kí hiệu là

Cho hai đường thẳng:

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch3_h3.14.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M₀(x₀;y₀).

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch3_h3.15.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Phương trình tham số của đường thẳng m đi qua M₀(x₀;y₀) và vuông góc với đường thẳng là:

trong đó (a;b) là vectơ pháp tuyến của .

Giao điểm H của đường thẳng m và ứng với giá trị của tham số là nghiệm t_H của phương trình:

10?. Tính khoảng cách từ các điểm M(-2;1) và O(0;0) đến đường thẳng có phương trình 3x - 2y - 1 = 0.

Câu hỏi và bài tập

1. Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(2;1) và có vectơ chỉ phương = (3;4).

b) d đi qua điểm M(-2;3) và có vectơ pháp tuyến là = (5;1).

2. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) đi qua M(-5;-8) và có hệ số góc k = -3.

b) đi qua hai điểm A(2;1) và B(-4;5).

3. Cho tam giác ABC, biết A(1;4), B(3;-1) và C(6;2).

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và CA.

b) Lập phương trình tổng quát của đường cao AH và trung tuyến AM.

4. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(4;0) và điểm N(0;-1).

5. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ sau đây:

6. Cho đường thẳng d có phương trình tham số

Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.

7. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có phương trình:

d₁: 4x - 2y + 6 = 0 và d₂: x - 3y + 1 = 0.

8. Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) A(3;5)

d: 4x + 3y + 1 = 0

b) B(1;-2)

d’: 3x - 4y - 26 = 0

c) C(1;2)

m: 3x + 4y - 11 = 0

9. Tìm bán kính của đường tròn tâm C(-2;-2) tiếp xúc với đường thẳng d: 5x + 12y - 10 = 0.

Schoolnet