Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch2_h2.39a.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch2_h2.39b.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch2_h2.39c.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

+ d và không có điểm chung. Khi đó, ta nói d song song với hay song song với d và kí hiệu là d // hay // d.

+ d và có một điểm chung duy nhất M. Khi đó ta nói d và cắt nhau tại M và kí hiệu là hay .

+ d và có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó, theo tính chất 3 bài 1, d nằm trong hay chứa d và kí hiệu hay .

?1. Trong phòng học hãy quan sát hình ảnh của đường thẳng song song với mặt phẳng.

II.Tính chất

Để nhận biết đường thẳng d song song với mặt phẳng ta có thể căn cứ vào số giao điểm của chúng. Ngoài ra ta có thể dựa vào các dấu hiệu sau đây.

Định lí 1

Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng và d song song với đường thẳng d’ nằm trong thì d song song với .

Chứng minh:

Gọi là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song d, d’.

Ta có (h.2.40).

Nếu thì M thuộc giao tuyến của và là d’ hay . Điều này mâu thuẫn với giả thiết d // d’.

Vậy d // .

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch2_h2.40.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

?2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD) không?

Định lí 2

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng . Nếu mặt phẳng chứa a và cắt theo giao tuyến b thì b song song với a (h.2.41).

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch2_h2.41.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Lấy M là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AB và CD. Xác định thiết diện tạo bởi và tứ diện ABCD. Thiết diện đó là gì?

Giải: Mặt phẳng đi qua M và song song với AB nên cắt mặt phẳng (ABC) (chứa AB) theo giao tuyến d đi qua M và song song với AB. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của d với AC và BC (h.2.42).

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch2_h2.42.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Mặt khác, song song với CD nên cắt (ACD) và (BCD) (là các mặt phẳng chứa CD) theo các giao tuyến EH và FG cùng song song với CD (H AD và G BD).

Ta có thiết diện là tứ giác EFGH. Hơn nữa ta có: // AB và (ABD) giao với theo giao tuyến HG, từ đó suy ra HG // AB.

Tứ giác EFGH có EF // HG ( // AB) và EH // FG( // CD) nên nó là hình bình hành.

Từ định lí 2 ta suy ra hệ quả sau.

Hệ quả 2

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đườn thẳng đó (h.2.43).

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch2_h2.43.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Hai đường thẳng chéo nhau thì không thể cùng nằm trong một mặt phẳng. Tuy nhiên, ta có thể tìm được mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Định lí sau đây thể hiện tính chất đó.

Định lí 3

Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Chứng minh: Giả sử ta có hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Lấy điểm M bất kì thuộc a. Qua M kẻ đường thẳng b’ song song với b. Gọi là mặt phẳng xác định bởi a va b’ (h.2.44).

Ta có: b // b’ và b’ nằm trên , từ đó suy ra b // .

Hơn nữa chứa đường thẳng a nên là mặt phẳng cần tìm.

Ta chứng minh là duy nhất. Thật vậy, nếu có một mặt phẳng khác , chứa a và song song với b thì khi đó , là hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với b nên giao tuyến của chúng là a, phải song song với b. Điều này mâu thuẫn với giả thiết a và b chéo nhau.

Tương tự ta có thể chứng minh có duy nhất một mặt phẳng chứa b và song song với a.

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L11_Ch2_h2.44.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Bài tập

1. Cho hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng.

a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh rằng đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF).

2. Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD.

a) Tìm giao tuyến của với các mặt của tứ diện.

b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng là hình gì?

3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua (O), song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì?

Schoolnet