Hình 93

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_Ch3_h93.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Vì vậy ta có định nghĩa sau

ĐỊNH NGHĨA 1

Nhận xét

1) Để xác định góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂, ta có thể lấy điểm O nói trên thuộc một trong hai đường thẳng đó.

2) Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90⁰.

3) Nếu lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng ∆₁, ∆₂ và thì góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ bằng α nếu α≤ 90⁰ và bằng 180⁰ - α nếu α > 90⁰.

Ví dụ 1

Cho hình chóp S.ABCD có

SA = SB = SC = AB = AC = a và .

Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB ( h. 94 ).

Hình 94

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_Ch3_h94.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Các mặt của hình chóp S.ABC là những tam giác có gì đặc biệt?

Giải

Cách 1. Ta tính góc giữa hai vectơ .

Ta có

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60⁰.

Cách 2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, AC. Khi đó MN // AB, MP // SC. Để tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB, ta cần tính .

Ta có

Mặt khác

do đó

suy ra

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60⁰.

2. Hai đường thẳng vuông góc

ĐỊNH NGHĨA 2

Khi hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, ta còn nói gọn là hai đường thẳng a và b vuông góc, và kí hiệu a ⊥ b hay b ⊥a. Như vậy , ở đó và lần lượt là các vectơ chỉ phương của a và b.

Từ định nghĩa trên, ta có nhận xét sau

Nhận xét

Mọi đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.

1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng nhau ( hình hộp như thể gọi là hình hộp thoi). Hãy giải thích tại sao AC⊥B’D’.

Ví dụ 2

Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và

Tính diện tích tứ giác A’B’CD.

Giải(h.95)

Hình 95

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_Ch3_h95.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Trước hết ta dễ thấy A’B’CD là hình bình hành, ngoài ra B’C = a = CD nên A’B’CD là hình thoi. Ta sẽ chứng minh A’B’CD là hình vuông.

Thật vậy, ta có

Vậy có CB’⊥CD, do đó A’B’CD là hình vuông.

Từ đó diện tích hình vuông A’B’CD bằng a².

Ví dụ 3

Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB⊥AC, AB⊥BD. Gọi P và Q là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và CD sao cho . Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau (h.96).

Hình 96

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11_nc_Ch3_h96.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

2. (Để giải ví dụ 3)

Tính tích vô hướng của . Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 4

Tính các góc giữa các cặp đường thẳng DA và BC, DB và AC, DC và AB của tứ diện ABCD, biết rằng DA = BC = a, DB = AC = b, DC = AB = c.

Giải

Theo kết quả ở ví dụ 2 bài 1, ta có

Vậy góc giữa hai đường thẳng BC và AD là α mà .

Tương tự như trên, nếu gọi β và γ lần lượt là các góc giữa các cặp đường thẳng AC và BD, AB và DC thì

Câu hỏi và bài tập

7. Mỗi khẳng định sau có đúng không?

a) Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

b) Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

8. a) Cho vectơ khác và hai vectơ không cùng phương. Chứng minh rằng nếu vectơ vuông góc với cả hai vectơ và thì ba vectơ , , không đồng phẳng.

b) Chứng minh rằng ba vectơ cùng vuông góc với vectơ ≠ thì đồng phẳng. Từ đó suy ra các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng.

9. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và . Chứng minh rằng SA⊥BC, SB⊥AC, SC⊥AB.

10. Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu thì AB⊥CD, AC⊥BD, AD⊥BC. Điều ngược lại có đúng không?

11. Cho hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD và . Chứng minh rằng:

a) AB⊥CD;

School@net