1 (Để giải bài toán 1)

Kí hiệu lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng a, b, c, d trong đó d là đường thẳng bất kì nằm trong (P) (h.97). Giả thiết của bài toán có nghĩa là .

Hãy chứng tỏ .

Tải trực tiếp tệp hình học động (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L11_ch3_h97.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Khi a vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì ta nói rằng đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P). Vậy ta có định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA 1

Khi đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta còn nói mặt phẳng (P) vuông góc với a hoặc a và (P) vuông góc với nhau, và kí hiệu a(P) hoặc (P) a.

Từ bài toán 1 và định nghĩa trên, ta có định lí sau nói về điều kiện để đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau.

ĐỊNH LÍ 1

2

Chứng tỏ rằng nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba, tức là phải chứng minh (h.98):

Tải trực tiếp tệp hình học động (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L11_ch3_h98.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

2. Các tính chất

Từ định nghĩa nêu trên, ta có các tính chất sau:

Tính chất 1

Tính chất 2

Nhận xét

Mặt phẳng (P) nói trong tính chất 1 được xác định bởi hai đường thẳng phân biệt b và c cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với đường thẳng a (h.99).

Tải trực tiếp tệp hình học động (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L11_ch3_h99.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Đường thẳng (trong tính chất 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (Q) và (R) cùng đi qua O và lần lượt vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b nằm trong mặt phẳng (P) (h.100).

Tải trực tiếp tệp hình học động (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L11_ch3_h100.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Từ tính chất 1, ta thấy có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm O của đoạn thẳng AB. Mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB (h.101).

Tải trực tiếp tệp hình học động (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L11_ch3_h101.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Dễ thấy rằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

3

Tìm tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh tam giác ABC.

Trong chương II, ta đã đề cập đến quan hệ song song giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng. Kết hợp các tính chất nêu trên, ta có thể chứng minh được một số tính chất nói về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Tính chất 3 (h.102)

Tải trực tiếp tệp hình học động (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L11_ch3_h102.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Tính chất 3 được viết gọn là:

Tính chất 4 (h.103)

Tải trực tiếp tệp hình học động (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L11_ch3_h103.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Tính chất 4 được viết gọn là:

Nhận xét

Trong tính chất 3, nếu ta thay các cụm từ “mặt phẳng” thành “đường thẳng”, “đường thẳng” thành “mặt phẳng”, còn các từ khác giữ nguyên thì ta có tính chất 4.

Tính chất 5 (h.104)

Tải trực tiếp tệp hình học động (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L11_ch3_h104.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Tính chất 5 được viết gọn là:

4. Định lí ba đường vuông góc

Phép chiếu vuông góc

Một trường hợp thường gặp của phép chiếu song song là phép chiếu vuông góc.

ĐỊNH NGHĨA 2

Vì phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có mọi tính chất của phép chiếu song song. Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) còn được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng (P). Nếu H’ là hình chiếu vuông góc của hình H trên mp(P) thì ta cũng nói H’ là hình chiếu của H trên mặt phẳng (P).

Định lí ba đường vuông góc

ĐỊNH LÍ 2

Chứng minh

Nếu a nằm trong (P) thì kết quả là hiển nhiên.

Nếu a không nằm trong (P) thì ta lấy hai điểm phân biệt A và B thuộc a. Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu của A và B trên (P), khi đó hình chiếu a’ của đường thẳng a trên (P) chính là đường thẳng đi qua hai điểm A’ và B’ (h.105).

Tải trực tiếp tệp hình học động (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L11_ch3_h105.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Vì b(P) nên bAA’.

Vậy nếu ba thì bmp(a’ , a), do đó ba’.

Ngược lại, nếu ba’ thì bmp(a’, a), do đó ba.

5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Ta có định nghĩa sau (h.106)

Tải trực tiếp tệp hình học động 106a (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L11_ch3_h106a.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Tải trực tiếp tệp hình học động 106b (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L11_ch3_h106b.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

ĐỊNH NGHĨA 3

Lưu ý rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 90⁰.

Ví dụ

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SAmp(ABCD).

1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.

a) Chứng minh rằng MN // BD và SCmp(AMN).

b) Gọi K là giao điểm của SC với mp(AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc.

2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) khi SA = , AB = a.

Giải (h.107)

Tải trực tiếp tệp hình học động (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L11_ch3_h107.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

1. a) Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau có các đường cao tương ứng là AM và AN nên BM = DN. Mặt khác, tam giác SBD cân tại đỉnh S nên MN song song với BD.

Ta có BC(SAB) nên BCAM ; mặt khác SBAM, do đó AMSC.

Tương tự, ANSC.

Vậy, SC(AMN).

b) Do MN // BD mà BD(SAC) nên MN(SAC), từ đó MNAK.

2. Ta có AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD). Mặt khác AC = , SA = nên . Vậy góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45⁰.

Câu hỏi và bài tập

12. Khẳng định “Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì nó vuông góc với (P)” có đúng không? Vì sao?

13. Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Nếu a // ( P ) và b( P ) thì ba.

b) Nếu a // ( P ) và ba thì b( P ).

c) Nếu a // ( P ) và b // a thì b // ( P ).

14. Cho điểm S có hình chiếu trên mp( P ) là H. Với điểm M bất kì trên (P) (M không trùng H ), ta gọi đoạn thẳng SM là đường xiên, đoạn thẳng HM là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng:

a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau.

b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào dài hơn thì có hình chiếu dài hơn và ngược lại, đường xiên nào có hình chiếu dài hơn thì dài hơn.

15. Cho tứ diện ABCD. Tìm điểm O cách đều bốn đỉnh của tứ diện.

16. Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c.

a) Tính độ dài AD.

b) Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D.

17. Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.

a) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn.

b) Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp(ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC.

c) Chứng minh rằng:

.

18. Cho hình chóp S.ABC có SAmp(ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:

a) AH, SK, BC đồng quy;

b) SCmp(BHK );

c) HKmp(SBC).

19. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng SG(ABC). Tính SG.

b) Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P).

20. a) Cho tứ diện ABCD có ABCD, ACBD. Chứng minh rằng ADBC. Vậy, các cạnh đối diện của tứ diện đó vuông góc với nhau. Tứ diện như thế gọi là tứ diện trực tâm.

b) Chứng minh các mệnh đề sau đây là tương đương:

i) ABCD là tứ diện trực tâm.

ii) Chân đường cao của tứ diện hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm của mặt đối diện.

iii) .

c) Chứng minh rằng bốn đường cao của tứ diện trực tâm đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tứ diện nói trên.

School@net