Giải bài toán sau:
Cho hàm số:
1) Vẽ đồ thị hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Biết rằng tiếp tuyến qua điểm M(-1,-3)
3) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình =m
4) Tìm m để phương trình =m có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 sao cho -1
Ta bắt đầu giải bài toán bằng phần mềm Autograph
1. Vẽ đồ thị hàm số
y =
Bước 1: Thu nhỏ tỉ lệ chia đơn vị trên các trục tọa độ. Ta tiến hành như sau:
Vào menu Axes chọn mục Edit Axes… một hộp thoại xuất hiện:
Ta thay đổi giá trị Minimum và Maximum trên trục tọa độ x và y tùy theo tỉ lệ mà ta muốn chia. Trong bài này tôi chọn :
Trên trục x : Minimum là -12 và Maximum là 12
Trên trục y : Minimum là -8 và Maximum là -8
Như hộp thoại dưới đây
Sau bấm OK ta được tỉ lệ đơn vị trên mỗi trục tọa độ mà ta mong muốn.
Bước 2: Đưa con trỏ chuột chọn nút Enter Equation… như hình vẽ dưới đây:
Một hộp thoại hiện ra (Add Equation):
Bước 3: Nhập phương trình đồ thị cần vẽ vào hộp thoại Equation:
Sau bấm nút OK ta được đồ thị của hàm số :
Bước 4: Để ta có thể quan sát đồ thị được rõ hơn ta làm cho đồ thị đậm hơn ta tiến hành như sau:
Đưa con trỏ chuột chọn đồ thị hàm số
Đưa con trỏ chuột chọn nút Thick Line trên thanh công cụ như hình vẽ:
Tiếp đó ta chọn độ dày mà ta mong muốn thu được đồ thị như hình dưới đây:
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số qua điểm M(-1,-3)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số qua điểm M(-1,-3) có dạng:
y=k(x+1)-3
Bây giờ ta cần tính giá trị của k:
Ta tiến hành thực hiện trên phần mềm Autograph
Ta vẽ đường thẳng y=k(x+1)-3 trên cùng trục tọa độ với đồ thị hàm số
Ta được hình vẽ dưới đây:
Để thấy được sự di chuyển của đường thẳng so với đồ thị hàm số một cách trực quan khi ta thay đổi giá trị của k ta bấm chuột vào nút (constant controller) một hộp thoại xuất hiện :
Hai mũi tên (phải) , (trái) cho phép ta thay đổi giá trị của Step là giá trị tăng lên hay giảm đi của k sau mỗi lần ta kích mũi tên (lên) hay ( xuống)
Với những giá trị như hộp thoại trên thì mỗi lần ta kích mũi tên tên (lên) hay (xuống) thì giá trị của k sẽ tăng lên hay giảm đi 1.
Thay đổi giá trị của k quan sát trực quan ta thấy tại vị trí k= -3 thì đường thẳng tiếp xúc đồ thị hàm số như hình dưới đây:
Vậy tiếp tuyến của đồ thị hàm số qua điểm M(-1,-3) là y= -3x-6
3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình =m (1)
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y= và đường thẳng y=m
Do đó dựa vào đồ thị ta suy ngay ra kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình
Trước tiên ta vẽ đồ thị hàm số y=và đường thẳng y=m bằng phần mềm Autograph ta được hình vẽ dưới đây:
Để thấy được sự dịch chuyển của đường thẳng so với đồ thị hàm số y= một cách trực quan khi ta thay đổi giá trị của m ta bấm chuột vào nút (constant controller) một hộp thoại xuất hiện:
Với những giá trị như hộp thoại trên thì mỗi lần ta kích mũi tên tên (lên) hay ( xuống) thì giá trị của m sẽ tăng lên hay giảm đi 0.1
Mỗi lần thay đổi giá trị của m ta quan sát được trực quan sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số y=
Từ sự quan sát trực quan khi ta thay đổi giá trị của m ta được kết quả như sau:
- Nếu m<-6 thì đường thẳng cắt đồ thị hàm số y= tại hai điểm phân biệt do đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
- Nếu m= -6 thì đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y=tại một điểm do đó phương trình (1)có một nghiệm kép.
- Nếu -6 do đó phương trình (1) vô nghiệm .
- Nếu m=3 thì đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y= tại hai điểm do đó phương trình (1) có hai nghiệm kép
- Nếu m>3 thì đường thẳng cắt đồ thị hàm số y= tại 4 điểm do đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt .
4. Tìm m để phương trình =m (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 sao cho -1
Từ hình vẽ :
Ta dịch chuyển đường thẳng y=m. Quan sát trên hình vẽ một cách trực quan ta nhận thấy với m<-6 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt -1
Tôi viết bài này dưới sự chỉ bảo và khích lệ của công ty Công nghệ Tin học và Nhà trường School@net. Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về cho tôi theo địa chỉ: Đoàn Thị Huyền, Khoa CNTT, ĐHSPH. Email: huyencnttb@yahoo.com.
Các bài viết có liên quan:
Autograph - lớp học di động hay phần mềm lý tưởng giảng dạy môn Toán trong nhà trường phần I
Autograph - lớp học di động hay phần mềm lý tưởng giảng dạy môn Toán trong nhà trường phần II
Đoàn Thị Huyền
|