Điều 1: “Thực hiện mọi việc đến một cách tự nhiên”, điều này không được khuyến nghị, thỉnh thoảng nó bị cấm bởi luật pháp hoặc quy định. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp (và đây là một trong những trường hợp đó), những điều làm theo tự nhiên cũng là những việc chính xác. Đây là một kết quả đẹp, bởi vì tất cả những gì mà bạn cần nhớ đó là dựa theo cảm giác đầu tiên của bạn.

Đó là ngày đầu tiên vào học trong một trường đại học lớn ở Mỹ. Trong một phòng học ba mươi sinh viên năm thứ nhất lớp học đại số được tập trung để nghe giảng từ một thầy giáo trưởng khoa Toán. Ông thực hiện làm một bài kiểm tra với các sinh viên của lớp mình cho một lý do thú vị - ông muốn xem các sinh viên có một cơ sở vững chắc cho các bài học tiếp theo không. Bạn không thể học tập với một vốn kiến thức nghèo nàn, và vốn kiến thức nghèo nàn đó chính là vấn đề mà bạn luôn phải đối diện trong phần lớn thời gian học tập.

Trong mọi trường hợp thực hiện phép tính rất cần một cách để kiểm tra kết quả mà không cần tính lại nó. Dù ta thực hiện phép cộng, phép trừ, phép chia, phép bình phương hay khai căn một số,.. chúng ta cũng cần một phương pháp kiểm tra hiệu quả. Liệu có một phương pháp nào có thể dùng để áp dụng cho mọi phép tính? Thực tế, có hai phương pháp khác biệt nhau, ở đây sẽ trình bày cả hai phương pháp để bạn có được cái nhìn toàn vẹn. Chúng ta trình bày phương pháp tính tổng các chữ số trước, như một phương pháp có tính nguyên lý chung cho các phép tính, và phương pháp lấy phần dư cho 11 là một cách làm khác mà bạn có thể lựa chọn.

Như phương pháp tính tổng truyền thống, chúng ta viết các thừa số thành cột, và ở dưới ta kẻ một đường phân cách, kết quả sẽ được ghi ở cuối cột đó. Khi viết chúng hãy nhớ một quy tắc toán học cần thiết là phải viết các số căn hàng với nhau theo thứ tự các hàng, với dấu phẩy thập phân làm mốc. Do đó, đầu tiên ta đặt các dấu thập phân thành một cột, như ví dụ sau:

Trong các chương trước chúng ta đã phát triển các phương pháp nhân chú trọng vào tốc độ thực hiện. Đồng thời, chúng ta đã quan tâm đến sự chính xác và đưa ra cách thức kiểm tra cần thiết và tầm quan trọng của nó.

Trong phép cộng chúng ta tiếp tục chú trọng vào hai vấn đề trên, tốc độ và sự chính xác. Chúng ta sẽ phát tiển trong chương này một phương pháp cộng nhanh hơn cách mọi người vẫn làm hàng ngày, và đồng thời đưa ra cách để kiểm tra và kiểm tra kép với kết quả. Tuy nhiên, vấn đề được nhấn mạnh, có sự thay đổi đôi chút. Khi sử dụng phép cộng theo cách thông thường, một người bình thường khong thể luôn cộng hàng loạt các cột lại với nhau mà không mắc sai lầm nào. Giả sử anh ta có phép cộng với 5 số. Anh ta phải cộng năm cột liên tiếp, và một khi anh ta mắc sai sót tại một cột nào đó, sẽ ảnh hưởng các cột còn lại.

Để thực hiện phép nhân với các số có độ dài bất kỳ, ta tiếp tục thực hiện với số nhân có ba chữ số, như 273 nhân 154, hoặc 5,273 nhân 154, hoặc 235,273 nhân 154, với cùng một quy tắc chung. Tuy nhiên, bây giờ mỗi chữ số của kết quả sẽ là tổng của ba phần thay vì trước đây, nó chỉ là tổng của hai phần. Mỗi một phần đến từ các cặp chữ số khác nhau, như chúng ta sẽ thấy, bằng cách sử dụng cách làm hàng đơn vị và hàng chục. Chúng ta hãy xem ví dụ, 273 nhân 154. Chúng ta viết 3 số 0 ở đằng trước (bằng số chữ số số nhân).

Quá trình thực hiện tương tự cho phép ta nhân số có độ dài bất kỳ với số nhân có hai chữ số, Chúng ta đã nhân 73 với 54. Bây giờ việc thực hiên bắt đầu cũng với hai bước đầu tiên như cũ:

Chúng ta đã nhân các số có độ dài tùy ý với các chữ số, như 6 và 7. Nhưng ta sẽ thực hiện phép nhân một số dài với 37, hoặc 2,237 như thế nào ? Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc mở rộng phương pháp hiện thời cho các số nhân có hai chữ số.

Chúng ta có thể dùng cặp kết quả đã xem ở bước trước để áp dụng vào các phép nhân đơn giản. Giả sử chúng ta muốn nhân 3,112 với 6. Sử dụng cặp kết quả, chúng ta có cách làm hoàn toàn mới để thực hiện. Ý tưởng cơ bản là:

Mỗi cặp kết quả là một chữ số của kết quả phép nhân

Bây giờ chúng ta hãy xem xét đầy đủ ví dụ trên. Chúng ta đặt số 0 ở đằng trước số bị nhân, như thông thường. Sau đó đặt chữ U của kí hiệu UT vào vị trí sẽ xuất hiện chữ số tiếp theo của kết quả - bây giờ là chữ số đầu tiên:

Như ta đã thấy ở chương trước, một tiện ích quan trọng của hệ thống tính toán Trachtenberg là chúng ta có thể nhân bất cứ hai số nào và viết ra kết quả một cách trực tiếp. Chúng ta không viết các phép tính trung gian như cách làm thông thường. Phương pháp trực tiếp chúng ta vừa học là một trong những áp dụng có tính tổng quát – nó có thể được dùng để nhân hai số bất kỳ với nhau. Nhưng trong nhiều trường hợp, nó cần thêm những cải tiến phù hợp. Khi chúng ta áp dụng phương pháp đó với những số có nhiều chữ số có giá trị lớn, như 978 nhân 647, chúng ta sẽ phải cộng lại các kết quả lớn trong đầu, và phải nhớ những số nhớ lớn. Phát triển tiếp theo cho phương pháp bao gồm việc giảm bớt việc tính toán những số lớn trong đầu. Chúng ta thực hiện điều này bằng việc tích hợp vào phương pháp một bước mới – mà giáo sư Trachtenberg gọi là phương pháp “hai ngón tay”. Nó cũng có thể giống với phương pháp được gọi “các số hàng đơn vị và các số hàng chục”. Bạn sẽ biết rõ hơn về các tên này và các phương pháp trên, ở phần sau.

Số bị nhân có độ dài bất kỳ:

Cho số nhân dài chúng ta sử dụng một nguyên tắc tương tự. Số bị nhân có bốn chữ số, như 3.214, làm việc như sau: mỗi chữ số của kết quả được tính từ tổng của 4 phần. Mỗi một phần là kết quả của phép nhân hai chữ số lại với nhau. Cụ thể: đó là hai đầu của đường cong nối chúng, hay nói cách khách, phần trong và phần ngoài. Lấy ví dụ: 2,103 nhân 3,214:

Số bị nhân có ba chữ số:

Chúng ta đã thực hiện phép nhân các số khác nhau với số nhân có hai chữ số. Số bị nhân có thể có độ dài lớn, như 241,304 tuy nhiên nó vẫn được nhân với số có hai chữ số. Bây giờ chúng ta thực hiện phép nhân với số có ba chữ số.

PHÉP NHÂN CÁC SỐ CÓ ĐỘ DÀI LỚN.

Khi số bị nhân có độ dài lớn, mọi việc chúng ta cần làm là lặp lại bước 2 với số lần bằng với độ dàu cần thiết. Lấy ví dụ,giả sử bạn nhân 312 với 14. Ta minh họa việc thực hiên như sau:

Ở chương 1 chúng ta đã thấy các phép nhân cơ sở được thực hiện mà không cần dùng đến các bảng nhân. Theo ý nghĩa mới này chúng ta có thể giải phóng sự hiểu biết của chúng ta về các bảng nhân và hoàn thiện các phần mà ta không chắc chắn. Bây giờ chúng ta có thêm tự tin về khả năng dùng các bảng nhân nhanh chóng và chính xác bất cứ khi nào cần thiết.

Việc ghi nhớ các quy tắc sẽ trở nên không cần thiết sau khi bạn dành một thời gian đáng kể dành cho thực hành. Việc thực hiện các ví dụ đề ra sẽ làm cho quá trình thực hiện trở nên tự động, và đó là cách tốt nhất để học nó. Để tổng kết, chúng ta sẽ nhắc lại về các khái niệm sử dụng trong chương này.

Phép nhân với ba

Thực hiện phép nhân 3 tương tự như cách làm đối với phép nhân 8 nhưng có một số thay đổi. Thay vì phải cộng với một nửa chữ số liền kề, như chúng ta đã làm với 8, bây giờ chúng ta cộng với một nửa của nó. Tất nhiên, ta cũng cộng thêm 5 nếu đó là chữ số lẻ.

THỰC HIỆN PHÉP NHÂN VỚI TÁM VÀ CHÍN

Với các phép nhân với 8 và 9, ta có những phương pháp tính nhẩm mới yêu cầu một số bước rèn luyện thêm. Các bước mới thêm bao gồm việc trừ đi các chữ số mỗi hàng bởi 9 hoặc 10. Giả sử ta muốn nhân 4,567 với 8 hoặc 9, cả hai trường hợp, bước đầu tiên ta cần làm là trừ đi giá trị chũ số bên phải nhất (7) từ 10. Chúng ta bắt đầu bằng việc quan sát chữ số bên phải nhất của 4,567 và đọc “3”. Không nên thực hiện đọc theo cách “10 trừ 7 còn 3”, mà hãy đọc theo kiểu phản xạ tức thời: Chúng ta quan sát được 7 và đọc “3”.

THỰC HIỆN PHÉP NHÂN VỚI NĂM, SÁU VÀ BẢY

Các phép nhân tiếp theo, với 5,6 và 7, được thực hiện từ ý tưởng “chia đôi” mỗi chữ số. Chúng ta viết như vật bởi vì chúng dựa trên phép chia đôi đơn giản, bỏ đi phần dư nếu tồn tại. Thực hiện chia đôi 5, ta được kết quả 2. Kết quả chính xác phải là , tuy nhiên chúng ta không cần sử dụng phân số. Tương tự “một nửa” của 3 là 1, và “một nửa” của 1 là 0. Tất nhiên, “một nửa” của 4 là 2, và các số chắn khác cũng tương tự vậy.

CÁC PHÉP NHÂN CƠ BẢN

Sự cần thiết để áp dụng hệ thống tính Trachtenberg đã được nói ở phần trước. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét các phương pháp này. Quy tắc đầu tiên chúng ta sẽ học là cách thực hiện các phép nhân cơ bản: chúng ta sẽ nhân mà không cần dùng đến một bảng nhân nào cả. Điều này có thể thực hiện được ? Bạn sẽ thấy chúng ta không chỉ làm được điều này, mà còn làm được điều này dễ dàng.

Jekow Trachtenberg, nhà sáng lập viện toán học Zurich, Thụy Sỹ và là người sáng tạo ra hệ thống tính toán số học mang tên mình, hệ thống đã được nhiều người nhất trí rằng, “có thể vận dụng hết khả năng tính toán của mình”.

Cách thức tính Trachtenberg không chỉ nhanh mà còn rất đơn giản. Một khi bạn đã nắm được các nguyên tắc chính, việc tính toán trở nên nhẹ nhàng như việc đọc một quyển sách. Việc này nghe như một chuyện thần kỳ, nhưng nó dựa trên những logic cơ sở.