Hướng dẫn sử dụng Cabri II Plus: Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG EULER TRONG TAM GIÁC
18/09/2007

Dựng một tam giác ABC bất kỳ, tiếp theo dựng ba đường trung tuyến của tam giác. Đây là những đường thẳng nối mỗi đỉnh tới trung điểm của cạnh đối diện. Tiếp theo ta dựng ba đường cao của tam giác, là các đường thẳng vuông góc với mỗi cạnh và đi qua đỉnh đối diện. Cuối cùng là dựng ba đường đường trung trực của các cạnh của tam giác, là đường thẳng vuông góc với mỗi cạnh và đi qua trung điểm của nó. Như ta đã biết ba đường cao, ba đường trung tuyến và ba đường trung trực lần lượt đồng qui, và các điểm đồng qui này nằm trên một đường thẳng, mà ta gọi là đường thẳng Euler1 của tam giác.


Để dựng tam giác, chọn công cụ [Đường thẳng]Tam giác. Thao tác trên thanh công cụ được miêu tả trong phần [1] LÀM QUEN của tài liệu này.

Khi công cụ [Đường thẳng]Tam giác được kích hoạt, ta chỉ cần chọn ba điểm mới trong cửa sổ bằng cách kích chuột vào vùng làm việc trống. Ta có thể đặt tên cho các điểm được dựng “tại chỗ” bằng cách gõ tên từ bàn phím. Khi tam giác đã dựng xong, các tên này có thể được dịch chuyển xung quanh các điểm, ví dụ để đặt chúng nằm ngoài tam giác.



Hình 2.1 - Tam giác ABC dựng với công cụ [Đường thẳng]Tam giác.
Các đỉnh được đặt tên ngay sau khi chúng được tạo ra.

Để dịch chuyển tên của một đối tượng, ta dùng công cụ [Thao tác]Chọn bằng cách kéo tên (kích chuột và dịch chuyển con trỏ đồng thời nhấn giữ chuột giữ phím chuột). Để thay đổi tên của một đối tượng, ta kích hoạt công cụ [Văn bản và biểu tượng] Đặt tên, rồi chọn tên cần thay đổi : một cửa sổ soạn thảo xuất hiện để thực hiện việc sửa đổi. Các trung điểm được dựng nhờ vào công cụ [Dựng hình]Trung điểm. Để dựng trung điểm của đoạn thẳng AB, ta sẽ chọn liên tiếp A và B. Trung điểm của đoạn thẳng hay một cạnh của hình đa giác cũng có thể được dựng cũng bằng cách kích chuột trực tiếp trên đoạn thẳng hay cạnh. Điểm mới có thể được đặt tên ngay sau dựng xong, ta sẽ gọi là điểm C’. Ta tiến hành tương tự với hai cạnh kia để cách dựng trung điểm A’ của đoạn thẳng BC và trung điểm B’ của đoạn thẳng CA.



Hình 2.2 - [Bên trái] Các trung điểm được dựng với công cụ [Dựng hình]Trung điểm, công cụ này có thể áp dụng cho hai điểm, cho một đoạn thẳng hoặc cho một cạnh của đa giác.
[Bên phải]. Các đường trung tuyến được dựng nhờ vào công cụ [Đường] Đường thẳng, màu sắc của các đường này được thay đổi với công cụ [Thuộc tính]Màu

Công cụ [Thao tác]Chọn cho phép dịch chuyển tự do các đối tượng của hình, ở đây là ba điểm A, B, C. Ta thấy rằng toàn bộ phép dựng hình vẽ sẽ tự cập nhật khi dịch chuyển một trong các điểm này. Như thế ta có thể tìm hiểu việc dựng hình với nhiều hình cấu trúc khác nhau. Để phát hiện các đối tượng tự do của một hình, ta kích hoạt công cụ [Thao tác]Chọn rồi kích chuột vào khoảng trống trên giấy đồng thời nhấn giữ nút chuột. Các đối tượng tự do khi đó sẽ nhấp nháy.

Công cụ [Đường thẳng]Đường thẳng cho phép dựng ba đường trung tuyến. Để dựng đường thẳng AA’, ta dựng liên tiếp A rồi A’.

Công cụ [Thuộc tính]Màu… cho phép thay đổi màu các đối tượng. Chọn màu trong bảng màu rồi sau đó chọn đối tượng cần tô màu.

Sau khi kích hoạt công cụ [Điểm] Điểm, kéo con trỏ đến gần giao điểm của ba đường trung tuyến. Về điểm này Cabri tìm cách dựng giao điểm của hai đường thẳng. Do có sự mập mờ ở đây (ta có tới ba đường thẳng đồng qui), một bảng chọn xuất hiện cho phép chọn hai trong số các đường để dựng giao điểm. Khi dịch chuyển con trỏ trên bảng chọn đường thẳng tương ứng sẽ có dạng chấm nhấp nháy. Sau khi chọn hai đường này giao điểm sẽ được tạo ra. Ta đặt tên ngay cho nó là G.



Hình 2.3 - Dựng giao điểm các đường trung tuyến và khắc phục sự mập mờ của phép chọn.

Các đường cao sẽ được dựng bởi công cụ [Dựng hình]Đường thẳng vuông góc. Công cụ này dựng một đường thẳng duy nhất vuông góc với một phương cho trước và đi qua một điểm cho trước. Ta cần chọn một điểm và một đường thẳng hoặc một đoạn thẳng, hoặc một nửa đường thẳng hoặc một cạnh của đa giác. Thứ tự chọn không quan trọng. Để dựng đường cao từ A, ta sẽ chọn A, và cạnh BC. Làm tương tự với các đường cao xuất phát từ B và C. Làm tương tự như với các đường trung tuyến, ta sẽ chọn một màu cho các đường cao, và sẽ dựng giao điểm H của chúng.

Công cụ [Dựng hình]Đường trung trực cho phép dựng đường trung trực của hai điểm, của một đoạn thẳng hoặc một cạnh của đa giác. Ta chỉ cần chọn đoạn thẳng hoặc các đầu mút của nó. Ta gọi giao điểm của ba đường trung trực là O.



Hình 2.4 - [Bên trái] Các đường cao được dựng nhờ công cụ [Dựng hình] Đường thẳng vuông góc.
[Bên phải] Cuối cùng là các đường trung trực, được dựng nhờ vào công cụ [Dựng hình]Đường trung trực.

Công cụ [Tính chất]Thẳng hàng? cho ta khả năng kiểm tra xem ba điểm O, H và G có thẳng hàng hay không. Ta chọn liên tiếp ba điểm này, rồi định một vị trí trên vùng làm việc để hiện kết quả. Kết quả là một văn bản nêu rõ các điểm có thẳng hàng với nhau hay không.

Khi ta thao tác trên hình, dòng chữ này sẽ được cập nhật cùng lúc với các thành phần khác của hình vẽ.
Với công cụ [Đường thẳng]Đường thẳng, ta dựng đường thẳng Euler của tam giác đi qua điểm điểm O, H và G bằng cách chọn chẳng hạn O và H. Công cụ [Thuộc tính] Độ dày… sẽ được dùng để làm nổi bật đường thẳng này.



Hình 2.5 - [Bên trái] Kiểm tra sự thẳng hàng của ba điểm O, H và G. Công cụ [Tính chất]Thẳng hàng ? tạo nên văn bản Các điểm thẳng hàng hoặc Các điểm không thẳng hàng tùy theo tình trạng hiện hành của hình vẽ.
[Bên phải] Đường thẳng Euler của tam giác được làm nổi bật nhờ độ dày của nó mà có thể được thay đổi nhờ công cụ [Thuộc tính] Độ dày…

Thao tác trên hình cho ta thấy rằng điểm G có vẻ luôn ở giữa các điểm O và H và vị trí tương đối của nó trên đoạn OH không đổi. Ta kiểm chứng điều này bằng cách đo độ dài của GO và GH. Kích hoạt công cụ [Đo]Khoảng cách hoặc độ dài. Công cụ này cho phép đo khoảng cách giữa hai điểm, hoặc độ dài một đoạn thẳng, tùy theo đối tượng được chọn. Vì thế ta chọn G rồi O; khoảng cách GO được hiển thị, đo theo cm. Tương tự với GH. Khi phép đo đã được thực hiện, ta có thể soạn tiêu đề tương ứng, ví dụ như thêm các ký tự GO= trước số liệu đo được.


Hình 2.6 - [Bên trái]. Công cụ [Đo] Khoảng cách hoặc độ dài cho phép thu được các khoảng cách GO và GH.
[Bên phải] Nhờ máy tính bỏ túi – công cụ [Đo] Máy tính… - ta tính tỉ số GH/GO và ta kiểm tra bằng tính toán là nó bằng 2.

Khi dịch chuyển hình, ta thấy rằng GH dường như gấp đôi GO. Để kiểm chứng điều này, ta sẽ tính tỉ số GH/GO. Kích hoạt công cụ [Đo]Máy tính… Chọn khoảng cách GH, tiếp theo toán tử / (để chỉ phép chia), và khoảng cách GO. Ta kích chuột trên phím = để thu được kết quả, mà ta có thể rê-thả chuột trên tờ giấy. Khi ta chọn một số (công cụ [Thao tác]Chọn), ta có thể tăng hoặc giảm số chữ số ở phần thập phân được hiển thị nhờ phím +-. Như thế, ta sẽ hiển thị tỉ số với khoảng một chục chữ số sau dấu phẩy, để nhận xét rằng nó bằng 2.

Bài tập 1 - Hoàn chỉnh hình vẽ bằng cách dựng đường tròn bao quanh tam giác (hướng O đi qua A, B, C). Ta sẽ dùng công cụ [Đường cong] Đường tròn.

Bài tập 2 - Tiếp theo dựng đường tròn chín điểm của tam giác. Đó là đường tròn có tâm là trung điểm OH, đi qua các trung điểm A’, B’, C’ của các cạnh, chân các đường cao, và trung điểm của các đoạn thẳng HA, HB và HC.



Hình vẽ 2.7 - Hình vẽ cuối cùng, với đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường tròn chín điểm của tam giác.

Xem toàn bộ sách hướng dẫn sử dụng:

Bài 1. Giới thiệu

Bài 2. Phép dựng hình đầu tiên của bạn

Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG EULER TRONG TAM GIÁC

Bài 4. CHINH PHỤC ĐIỂM BÍ HIỂM

Bài 5. TỨ GIÁC VARIGNON
URL của bài viết này::http://www.schoolnet.vn/modules.php?name=News&file=article&sid=1282