Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong http://www.schoolnet.vn
Giải và biện luận
25/04/2008

Giải biện luận là một bài toán khó đối với học sinh phổ thông. Không it bạn học sinh gặp khó khăn trong giải bài toán bằng phương pháp đại số. Giải bài toán biện luận bằng phương pháp đồ thị là một lựa chọn tốt, giúp chúng ta có cái nhìn trực quan, giải bài toán một cách chắc chắn, rõ rang. Phần mềm Autograph sẽ giúp chúng ta giải quyết vấn đề này. Trong bài viết này, tôi xin trình bày giải bài toán biện luận bằng đồ thị nhờ phần mềm Autograph.


Giải bài toán sau:

Cho hàm số y=|x2-5x+4|

1) Vẽ đồ thị hàm số

2) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình

|x2-5x+4| =a

3) Giải và biện luận theo a số nghiệm của bất phương trình

|x2-5x+4 |

Chúng ta cùng đi giải quyết bài toán bằng phần mềm Autograph

1) Vẽ đồ thị hàm số y= |x2-5x+4|

Bước 1: Đưa con trỏ chuột chọn nút Enter Equation… như hình vẽ dưới đây

Một hộp thoại sẽ hiện ra

Bước 2: Nhập phương trình đồ thị cần vẽ vào hộp thoại Equation:

Sau bấm nút OK ta được đồ thị của hàm số: y = |x2-5x+4|

Bước 3: Để ta có thể quan sát đồ thị được rõ hơn ta làm cho đồ thị đậm hơn ta tiến hành như sau:

Đưa con trỏ chuột chọn đồ thị hàm số y = |x2-5x+4 |

Đưa con trỏ chuột chọn nút Thick Line trên thanh công cụ như hình vẽ:

Tiếp đó ta chọn độ dày mà ta mong muốn thu được đồ thị như hình dưới đây:

2) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình

|x2-5x+4|=a (1)

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y=|x2-5x +4| và đường thẳng y=a

Do đó dựa vào đồ thị ta suy ngay ra kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình

Trước tiên ta vẽ đồ thị hàm số y=|x2-5x +4| và đường thẳng y=a trên cùng một hệ trục toạ độ bằng phần mềm Autograph ta được như hình dưới đây:

Để thấy được sự dịch chuyển của đường thẳng so với đồ thị hàm số y=|x2-5x+4| một cách trực quan khi ta thay đổi giá trị của a ta bấm chuột vào nút (constant controller) một hộp thoại xuất hiện

Với những giá trị như hộp thoại trên thì mỗi lần ta kích mũi tên tên (lên) hay ( xuống) thì giá trị của a sẽ tăng lên hay giảm đi 0.1

Mỗi lần thay đổi giá trị của a ta quan sát được trực quan sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số y= |x2-5x+4|

Từ sự quan sát trên ta được kết quả như sau:

a<0 đường thẳng y=a không cắt đồ thị hàm số y= |x2-5x+4| do đó phương trình (1) là vô nghiệm

a=0 đường thẳng y=a tiếp xúc đồ thị hàm số y= |x2-5x+4| tại hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm kép phân biệt

02-5x+4| tại 4 điểm phân biệt do đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

a=9/4 đường thẳng y=a tiếp xúc với đồ thị hàm số y= |x2-5x+4| tại một điểm và cắt đôt thị hàm số tại hai điểm phân biệt phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

a>9/4 đường thẳng y=a cắt đồ thị hàm số y= |x2-5x+4| tại hai điểm phân biệt do đó phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

3) Giải và biện luận theo a nghiệm của bất phương trình

|x2-5x+4| (2)

Trước tiên dùng phần mềm Autograph vẽ đồ thị hàm số y=|x2-5x+4| và đường thẳng y=a ta được như hình dưới đây:

Ta xét cung ACB thuộc đồ parabol y= -x2+5x-4.

Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2-5x+4 =a giả sử x1

Gọi x3, x4 là nghiệm của phương trình –x2-5x+4 =a giả sử x3

Nghiệm của bất phương trình (2) là những giá trị của x để đường thẳng y=a nằm phía trên đồ thị hàm số y=|x2-5x+4|

Để thấy được sự dịch chuyển của đường thẳng so với đồ thị hàm số y=|x2-5x+4| một cách trực quan khi ta thay đổi giá trị của a ta bấm chuột vào nút (constant controller) một hộp thoại xuất hiện

Với những giá trị như hộp thoại trên thì mỗi lần ta kích mũi tên tên (lên) hay ( xuống) thì giá trị của a sẽ tăng lên hay giảm đi 0.1

Từ sự quan sát trên ta đi đến kết luận:

a>9/4 bất phương trình (2) có nghiệm x1

a=9/4 bất phương trình (2) có nghiệm x1

0

a 0 bất phương trình (2) vô nghiệm

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về theo địa chỉ: Đoàn Thị Huyền, Khoa CNTT, ĐHSPH .Email:huyencnttb@yahoo.com
URL của bài viết này::http://www.schoolnet.vn/modules.php?name=News&file=article&sid=2000
© Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong contact: sales@schoolnet.vn