Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong http://www.schoolnet.vn
ĐẾN VỚI BÀI TOÁN CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI- P1
29/01/2009

Trong Toán học có một bài toán đã trở nên cực kì quen thuộc đối với bất cứ ai trong chúng ta, đó là bài toán ba đường trung tuyến của tam giác. Bài toán ba đường trung tuyến là một bài toán có hấp lực vô cùng lớn. Đứng về phương diện hình học Afin nó là một trong những bài toán Afin đơn giản nhất. Đứng về phương diện Hình học Euclide nó là một bài toán có sức phát triển rất cao mà hết cả cuộc đời chúng ta không bao giờ đi tới tận cùng của nó. Vẻ đẹp của mối quan hệ giữa Hình học sơ cấp và Hình học cao cấp, đó là nét đẹp giữa cái đơn giản và phức tạp là mối quan hệ nhiều chiều mà ta cần quan tâm. Xin được chia sẻ với các bạn về những điều đã nói trước hết qua bài toán sau :


Bài toán: Chứng minh rằng : trong một tam giác ba đường trung tuyến đồng quy tại một điểm.

Ta kiểm chứng bài toán này trên phần mềm Tin học Cabri như sau :

Bước 1 : Dựng hình


. Dựng tam giác ABC.

. Dựng trung điểm A1, B1, C1 của các đoạn thẳng BC, CA, AB bằng nút lệnh trung điểm : Trung điểm

. Nối AA1, BB1, CC1.

Bước 2:Kiểm chứng

. Gọi giao điểm của AA1và BB1 là M. Ta kiểm chứng M có nằm trên CC1 không bằng nút lệnh sau : Thuộc ? M CC1: Ta được kết quả phần tử nằm trên đối tượng.

Ta có các cách giải bài toán ba đường trung tuyến như sau:


Cách 1 Giả sử trung tuyến . Lấy E1, F1 là trung điểm MC và MB. Ta chứng minh được . Suy ra B1M = MF1 = F1B và C1M = ME1 = E1C.

Tương tự các trung tuyến AA1và CC1 cùng cắt nhau tại M1 có tính chất đó nên M1M.


Cách 2 Sử dụng đường song song cách đều như sau. Vẽ trung tuyến AA1lấy M : Nối BM cắt AC ở B1. Ta chứng minh rằng B1A = B1C.

Lấy KA sao cho KA = KM. Dựng KL // MB1, A1N // MB1. Do tính chất đường song song cách đều và đường trung bình A1N của . AK= KM = MA1, suy ra AL= LB1 = B1N = NC, suy ra AB1 = B1C.

Tương tự trung tuyến CC1cũng qua M.


Cách 3 Dựng hình bình hành AMBC2, AMCB2 với BB1, CC1 là các trung tuyến. Gọi giao điểm của AM và BC là A1. Ta phải chứng minh AA1 là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Từ cách dựng BCB2C2là hình bình hành suy ra nên MC = MC2. Do MA1 // BC2 suy ra MA1 là đường trung bình của tam giác BC2C, suy ra A1B = A1C.


Cách 4 Vẽ trung tuyến AA1 và lấy




Nối BM cắt AC tại B1ta chứng minh rằng AB1 = B1C.




Vậy AB1 = B1C.

Cách 5 Vẽ trung tuyến AA1 và lấy M sao cho xét phép đồng dạng phối cảnh tâm M thì A a A1, B a B1. Ta có : A1B’ // AB và Gọi B1A = B1C thì A1B1 là đường trung bình của tam giác ABC nên A1B1// AB và suy ra B1 B’.


Cách 6 Vẽ trung tuyến AA1 lấy điểm M :

Nối NM cắt AC tại B1. Ta cần chứng minh rằng : B1A = B1C.

Áp dụng định lý hàm số sin đối với các tam giác AB1B và AMB1, ta có :





Cách 7 (Phương pháp vectơ)

Vẽ trung tuyến AA1 và lấy M sao cho :


Do đó B, M, B1 thẳng hàng và


Cách 8 (Phương pháp vectơ)

Vẽ trung tuyến AA1 trên đó lấy M : AM = 2MA1. Ta có : do suy ra .

Tương tự dựng các trung tuyến CC1và BB1 trên đó tồn tại M1, M2 thoả mãn Ta cần chứng minh rằng M1 M2 M.

Thật vậy từ (1) và (2) trừ hai hệ thức ta rút ra suy ra M Mi (i = 1, 2).

Tương tự ta dựng trung tuyến AA1, BB1 để xác định trọng tâm (A, B, C) và do tính chất duy nhất của trọng tâm nên ba đường trung tuyến đồng quy.

Cách 9 Qua BC dựng mặt phẳng không chứa A. Dựng trong mặt phẳng một tam giác đều A’BC. Theo tính chất của phép chiếu song song theo phương AA’ các trung tuyến của tam giác ABC biến thành các tam giác đều A’BC.

Do trong tam giác đều thì ba đường trung tuyến đồng quy nên thực hiện phép chiếu ngược lại ta có ba trung tuyến tam giác ABC đồng quy.

Cách 10 Vẽ trung tuyến AA1và CC­1. Suy ra A1C­1là đường trung bình của tam giác ABC nên A1C1 // AC. Áp dụng định lý Ta lét ta có : suy ra OA = 2OA1, OC = 2OC1.

Tương tự vẽ trung tuyến BB1cắt AA1 tại O1 thì O1A = 2O1A1, O1B = 2O1B1. Suy ra O O1.

Còn tiếp
URL của bài viết này::http://www.schoolnet.vn/modules.php?name=News&file=article&sid=2949
© Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong contact: sales@schoolnet.vn