Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong http://www.schoolnet.vn
Sử dụng Maple để giải phương trình đại số
17/07/2006

Chúng tôi xin trân trọng giới thiệu với các thầy cô giáo và các bạn học sinh trích một phần nhỏ của cuốn sách Máy tính với toán sơ cấp của tác giả thầy giáo Đào Thiện Khải, nhà giáo ưu tú, nguyên hiệu trưởng trường THPT Hà Nội - Amsterdam do Nhà xuất bản giáo dục mới phát hành. Đây là một cuốn sách nhỏ, gọn nhưng rất độc đáo và hữu ích cho tất cả những ai quan tâm đến việc ứng dụng và sử dụng phần mềm vào học tập, nghiên cứu và giảng dạy môn Toán trong nhà trường phổ thông. Trong cuốn sách này đã trình bày cách tiếp cận mới trong việc giảng dạy và giải các vấn đề và bài toán trong chương trình THPT bằng các phần mềm như Maple, Cabri Geometry và Excel. Các bạn có thể tham khảo thông tin chi tiết về cuốn sách này tại địa chỉ:
http://vnschool.net/ebooks/toansocap.php


Nội dung giải phương trình được giảng dạy trong nhiều năm học ở trường trung học. Lần lượt từ phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậc cao, rồi các loại phương trình khác phức tạp hơn. Nói chung khi giải một phương trình, ta phải thực hiện các phép biến đổi để đưa phương trình cần giải về phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải. Dùng Maple, với mọi loại phương trình chỉ cần một lệnh “solve” tức là “giải”. Điều cần chú ý là phải khai báo cho chính xác phương trình, ẩn số của phương trình. Riêng ví dụ 8, lệnh "isolve" là giải trong phạm vi số nguyên.
Sau đây ta sẽ lần lượt giải các loại phương trình và hệ phương trình trên máy tính qua tám ví dụ gộp lại trong một “chương trình”. Bạn đọc chưa làm quen với cách tính, xin xem thêm cách giải thích chi tiết ở phần dưới đây.
Ví dụ 1. Giải phương trình bậc hai ax2+ bx + c = 0.
Máy cho ra ngay công thức nghiệm.
Ví dụ 2. Giải phương trình bậc cao: x6 - x5 - 9x4 + x3 + 20x2 + 12x = 0.
Ta có thể giải ngay phương trình để tìm nghiệm. Cũng có thể phân tích vế trái thành tích để đưa về việc giải các phương trình bậc thấp hơn như thường lệ bằng lệnh “factor”.
Ví dụ 3. Giải phương trình lượng giác:
cos5x + sin4x +2cos2x - 2sin2x - 2cos2x = 0
Dùng lệnh “simplify” để đơn giản vế trái, sau đó giải phương trình đơn giản cos5x + cos4x = 0 theo cosx hay theo x. Nếu không đơn giản trước khi giải thì máy không vừa biến đổi vừa giải được.
Ví dụ 4. Giải phương trình: (6x + 7)2(3x + 4)(x + 1) - 6 = 0. (*)
Máy cho cả nghiệm phức, khi phân tích vế trái thành tích ta thấy nghiệm phức là nghiệm của phương trình bậc hai 12x2 + 28x + 19 = 0.
Muốn viết vế trái phương trình (*) dưới dạng đa thức, ta dùng lệnh “expand”.
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn số:

Ví dụ 6. Giải hệ phương trình:
Hệ có hai bộ nghiệm, muốn thử lại nghiệm của hệ, dùng lệnh “eval”.
Ví dụ 7. Giải phương trình sau (phương trình có nghiệm đối xứng):
+ + = 1
Ví dụ 8. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 3x - 4y = 7.

Lời giải của các phương trình trên được thực hiện trên phần mềm Maple thông qua các dòng lệnh được gõ trực tiếp từ cửa sổ lệnh của phần mềm. Các dòng lệnh được viết bằng màu đỏ và chữ đậm. Kết quả của lệnh được thể hiện ngay dòng phía dưới.
>solve({a*x^2+b*x+c},{x}); (ví dụ 1)


>poly:=x^6-x^5-9*x^4+x^3+20*x^2+12*x; (ví dụ 2)


>solve(poly,x);


>factor(poly);


>expr:=cos(x)^5+sin(x)^4+2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-cos(2*x); (ví dụ 3)
expr :=cos5(x) + sin4(x) + 2cos2(x) – 2sin2(x) – cos(2x)
>simplify(expr);
cos5(x) + cos4(x)
>solve(cos(x)^5+cos(x)^4,x);


>eqn:=(6*x+7)^2*(3*x+4)*(x+1)-6; (ví dụ 4)


>solve(eqn,{x});


>factor(eqn);


>expand(eqn);


>sys:=({x+2*y+3*z+4*u+5*v=41,5*x+5*y+4*z+3*u+2*v=20,3*y+4*z8*u+2*v=125,x+y+z+u+v=9,8*x+4*z+3*u+2*v=11}); (ví dụ 5)


>solve(sys,{x,y,z,u,v});


>sys:=({x+y+z=6,x*y+y*z-x*z=7,x^2+y^2+z^2=14}); (ví dụ 6)


>solve(sys,{x,y,z});


>soln:=({z=1,y=3,x=2},{z=2,x=1,y=3});


>soln[1];


>soln[2];


>eval(sys,soln[1]);


>M:=1/(x*(x-y)*(x-z))+1/(y*(y-x)*(y-z))+1/(z*(z-x)*(z-y)); (ví dụ 7)


>solve(M=1,{x});


>simplify(M);


>isolve(3*x-4*y=7); (ví dụ 8)



Toàn bộ chương trình minh họa bằng Maple bao gồm 24 dòng lệnh, chia ra như sau:
Nhóm 1: Giải phương trình bậc hai chỉ cần một dòng lệnh.
Nhóm 2: Giải phương trình bậc sáu có ba dòng lệnh: cho đa thức f(x) vế trái của phương trình f(x) = 0, giải phương trình, phân tích vế trái ra thừa số.
Nhóm 3: Giải phương trình lượng giác có bốn dòng lệnh: cho biểu thức vế trái của phương trình (vế phải bằng 0), đơn giản vế trái, giải phương trình vế trái là biểu thức có được sau khi đơn giản theo cosx, giải phương trình vế trái là biểu thức sau khi đơn giản theo x.
Nhóm 4: Giải thêm một phương trình đại số (vế trái là một biểu thức đại số, vế phải bằng 0) có bốn lệnh: cho phương trình, giải phương trình theo x, phân tích vế trái thành tích, khai triển vế trái thành đa thức.
Nhóm 5: Giải hệ phương trình bậc nhất năm ẩn số có hai lệnh: cho hệ phương trình, giải hệ theo các ẩn số.
Nhóm 6: Giải hệ phương trình không là bậc nhất ba ẩn số có sáu lệnh: cho hệ phương trình, giải hệ theo từng ẩn số, tìm nghiệm của hệ, lệnh này tương đương giải hệ, tìm bộ nghiệm thứ nhất, tìm bộ nghiệm thứ hai, thử bộ nghiệm thứ nhất vào hệ đã cho.
Nhóm 7: Giải phương trình với nhiều ẩn số, nghiệm đối xứng có ba lệnh: cho vế trái f(x, y, z) của phương trình f(x, y, z) = 1, giải phương trình theo một ẩn, đơn giản vế trái cũng có kết quả.
Nhóm 8: Giải phương trình bậc nhất hai ẩn số với nghiệm nguyên có một lệnh. Các bạn có thể tham khảo thông tin chi tiết về cuốn sách này tại địa chỉ:

http://vnschool.net/ebooks/toansocap.php
URL của bài viết này::http://www.schoolnet.vn/modules.php?name=News&file=article&sid=321
© Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong contact: sales@schoolnet.vn