Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong http://www.schoolnet.vn
PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG VÀ BẤT ĐẰNG THỨC CÔ-SI ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN CỰC TRỊ
14/07/2009

Trong giải Toán cực trị hình học, bất đẳng thức Cô-si là một trong những bất đẳng thức thường dùng. Bất đẳng thức Cô-si chính là một trong những phương pháp rất hữu hiệu để Đại số hóa các bài toán hình học. Ứng dụng của nó như thế nào? Phần mềm hình học động ứng dụng trong cực trị hình học ra sao? Chúng ta sẽ khám phá những điều này trong bài viết sau. Tuy nhiên, trước hết chúng ta hãy đến với một số dạng của bất đẳng thức Cô-si.


1. Tìm giá trị nhỏ nhất:

- Dạng 1: hoặc

- Dạng 2:

- Dạng 3: Nếu tích xy là hằng số thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

2. Tìm giá trị lớn nhất:

- Dạng 4: hoặc

- Dạng 5:

- Dạng 6: Nếu tổng x + y là hằng số thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

Trong các bất đẳng thức trên, điều kiện để xảy ra dấu đẳng thức là x = y và trừ các dạng 1 và 4, các dạng khác đòi hỏi x và y là các số dương.

Dưới đây là một số bài tập tìm cực trị hình học có sử dụng bất đẳng thức Cô-si.

Bài toán 1

Cho ABC. Qua một điểm M bất kỳ thuộc cạnh AC, kẻ các đường song song với hai cạnh kia, chúng tạo thành với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của M để hình bình hành ấy có diện tích lớn nhất.

Ta thực hiện việc tìm giá trị lớn nhất của hình bình hành trên phần mềm Tin học Cabri như sau:

Bước 1: Dựng hình

. Dựng tam giác ABC.

. Dựng điểm M trên cạnh AC.

. Dựng (hình vẽ)

. Dựng đa giác BEMF bằng nút lệnh .

. Dựng hệ trục vuông góc Oxy.

. Dựng trên Oy điểm Q sao cho

. Các đường vuông góc với Oy tại Q và Ox tại M cắt nhau tại R.

Bước 2: Tạo hàm khoảng cách

. Tạo vết cho điểm R, chuyển động điểm M, ta thu được quỹ tích của điểm R.

Từ đây ta có cách giải Toán học cho nó.

Gọi hình bình hành tạo thành là BEMF, dt(BEMF) = S’; dt(ABC) = S(const). Cần tìm giá trị lớn nhất của S’.

Kẻ , AK cắt EM ở H. Ta có:


Đặt MA = x, MC = y chú ý rằng

Theo bất đẳng thức Cô-si dạng 5 thì . Do đó max . Khi đó x = y, tức là M là trung điểm của AC.

Khai thác bài toán 1, từ suy ra . Do đó nếu S’ là hằng số còn S thay đổi thì min , ta có bài toán

Bài toán 2. Cho hình bình hành BEMF. Dựng cát tuyến qua M cắt các cạnh của góc B tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.

Bài toán này còn có thể diễn đạt dưới dạng khác: Cho góc B khác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong của góc. Dựng cát tuyến qua M cắt hai cạnh của góc B tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.

Ta dựng hình và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tíchtam giác trên phần mềm Tin học Cabri như sau:

Bước 1: Dựng hình

. Dựng góc xBz khác góc bẹt.

. Dựng điểm M trong góc xBz.

. Dựng đường tròn (M;R).

. Dựng trên (M;R) một cung tròn sao cho đường thẳng nối một điểm K bất kì trên cung này với điểm M luôn cắt Bx tại C và Bz tại A.

. Dựng hệ trục vuông góc Bxy.

. Dựng trên By điểm Q sao cho BQ bằng diện tích tam giác ABC.

. Các đường vuông góc với By tại Q và Bx tại K cắt nhau tại R.

Bước 2: Tạo hàm khoảng cách

. Tạo vết cho điểm R, chuyển động điểm K ta thu được quỹ tích của điểm R.

Từ đây ta có hướng giải Toán học cho nó.

Cách 1

Xét (sử dụng bất đẳng thức Cô-si dạng 1)

Cách 2

Trước hết dựng cát tuyến qua M cắt các cạnh của góc B ở A và C sao cho M là trung điểm của AC. Xét cát tuyến bất kỳ đi qua M tạo với cát tuyến trước hai tam giác nhỏ, chứng minh rằng tam giác nằm trong ABC có diện tích nhỏ hơn.

Ta có bài toán tương tự sau

Bài toán 3

Cho ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a. Các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC. Vẽ DH và EK vuông góc với BC Tính diện tích lớn nhất của hình thang DEKH khi D và E thay đổi vị trí trên các cạnh AB và AC.

Ta dựng hình và tìm giá trị lớn nhất của hình thang DEKH trên phần mềm Tin học Cabri như sau:

Bước 1: Dựng hình

. Dựng tam giác vuông cân ABC cân tại A.

. Dựng điểm D trên AB, điểm E trên AC.

. Hạ

. Dựng hình thang DHKE.

. Dựng hệ trục vuông góc Oxy.

. Dựng trên Ox một điểm P sao cho OP = BD

. Dựng trên Oy một điểm Q sao cho

. Các đường vuông góc với Ox tại P và Oy tại Q cắt nhau tại R.

Bước 2: Tạo hàm khoảng cáchX

. Tạo vết cho điểm R, chuyển động điểm D, E ta thu được quỹ tích của R.

Từ đây ta có cách giải Toán học cho nó.

Gọi dt(DEKH) = S, ta có:

2S = (DH + EK). HK = (BH + KC) . HK

Ta thấy tổng (BH + KC) + HK không đổi (bằng a) nên tích (BH + KC). HK lớn nhất khi và chỉ khi (bất đẳng thức Cô-si dạng 6)

Khi đó , hình thang DEKH có đường cao , có vô số hình thang như vậy.

Sau đây là bài toán cùng dạng

Bài toán 4

Cho điểm A nằm bên trong dải tạo bởi hai đường thẳng song song d và d’. Dựng điểm B thuộc d, điểm C thuộc d’ sao cho vuông ở A và có diện tích nhỏ nhất.

Ta dựng hình và tìm diện tích nhỏ nhất trên phần mềm Cabri như sau:

Bước 1: Dựng hình

. Dựng đường thẳng

. Dựng điểm trên d.

. Dựng điểm A nằm giữa d và d’.

. Nối BA.

. Dựng đường thẳng qua A vuông góc với AB cắt d’ tại C.

. Dựng tam giác ABC.

. Dựng hệ trục vuông góc Oxy.

. Dựng trên Oy điểm Q sao cho

. Các đường vuông góc với Ox tại B và Oy tại Q cắt nhau tại R.

Bước 2: Tạo hàm khoảng cách

Tạo vết cho điểm R, chuyển động điểm B, ta thu được quỹ tích của R.

Từ đây ta có cách giải Toán học cho nó.

Gọi H và K là các hình chiếu của A trên d và d’


Do đó:

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức ta có

Bài toán có hai nghiệm hình.

Cách giải khác: Không đặt biến số là góc mà đặt HB = x, KC = y rồi áp dụng định lý Pitago và bất đẳng thức

Sau cùng là một số bài tập thực hành.

Bài toán 3

Trong các hình thang ABCD (BC // AD) có diện tích S không đổi. E là giao điểm các đường chéo, ở hình thang nào thì ABE có diện tích lớn nhất?

Bài toán 4

Cho đoạn thẳng AB và đường thẳng d song song với nhau. Tìm điểm M (M và d nằm khác phía đối với AB) sao cho các tia MA, MB tạo với đường thẳng d thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.

Đáp án và hướng dẫn giải như sau:

Bài toán 5

Ta thấy dt(ABE) = dt(CDE), đặt các diện tích đó bằng S’. Đặt dt(CEB) = S1, dt(AED) = S2.

Trước hết ta chứng minh rằng S’2 = S1 . S2


Đặt BC = x, AD = y, ta sẽ biểu thị các tỷ số theo x và y. Qua C kẻ đường thẳng song song với BD, cắt AD ở K. Ta có DK = BC = x

dt(ACK) = dt(ABCD) = S

ACK đồng dạng với CEB và AED nên


Theo bất đẳng thức Cô-si dạng 5 thì . Do đó max . Khi đó x = y, tức là hình thang ABCD trở thành hình bình hành.

Bài toán 6

Gọi C và D là các giao điểm của các tia MA và MB với đường thẳng d, dt(MCD) = S, MH và MK là đường cao của MAB và MCD.

Đặt MH = x, AB = a (const), HK = h (const)


Do a và h là hằng số nên S nhỏ nhất nếu nhỏ nhất. Ta lại thấy x và là hai số dương có tích không đổi (bằng h2) nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi , tức là x = h (bất đẳng thức Cô-si dạng 3)

Như vậy có vô số điểm M thỏa mãn bài toán, tập hợp của chúng là đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua trục AB.

Nguyễn Ngọc Giang, Cử nhân Sư phạm Toán, Cử nhân Khoa học Ngữ Văn Anh, 229/85 – Thích Quảng Đức – P.4 – Q. Phú nhuận – TP. HCM
URL của bài viết này::http://www.schoolnet.vn/modules.php?name=News&file=article&sid=3360
© Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong contact: sales@schoolnet.vn