Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong http://www.schoolnet.vn
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ
09/08/2006

Tôn Thất Hiệp, giáo viên trường THPT Phan Đăng Lưu, Huế

GIỚI THIỆU

Ta biết rằng, sử dụng phần mềm hình học The Geometer’s Sketchpad để vẽ đường biểu diển quỹ tích các điểm của bài toán quỹ tích hình học là rất sinh động và trực quan. Vấn đề chúng ta cần quan tâm ở đây là đồ thị của một hàm số cũng có thể là quỹ tích của một hay nhiều bài toán quỹ tích hình học phẳng, để từ đó ta có thể vẽ đồ thị hàm số thông qua bài toán quỹ tích hình học phẳng tương ứng.

Sau một thời gian nghiên cứu, tôi đã tìm ra cách tạo ra bài toán quỹ tích hình học phẳng từ phương trình của đồ thị hàm số đang xét, đó là một trong những nội dung của đề tài khoa học “Từ phương trình đồ thị hàm số đại số đến bài toán quỹ tích hình học phẳng” của tác giả. Ba bài toán dưới đây là một trong những kết quả nghiên cứu về vấn đề này.


Trong bài viết này, chúng tôi nêu lên thuật toán vẽ các đồ thị hàm số bằng phần mềm hình học The Geometer’s Sketchpad thông qua ba bài toán quỹ tích hình học phẳng mà quỹ tích của bài toán là đồ thị hàm số có phương trình thu gọn như , tử và mẫu không có nghiệm chung) . Đây là cách vẽ đồ thị hàm số (đối với các đồ thị hàm số như đã đề cập) rất sinh động dựa trên mối quan hệ giữa hai đối tượng cơ bản trong mặt phẳng là điểm và đường thẳng, khác với cách vẽ đồ thị hàm số hiện nay trên máy vi tính.
Do khuôn khổ bài báo này có hạn, nên chúng tôi chưa có thể trình bày cách chứng minh ba bài toán này, bởi vì phép chứng minh của ba bài toán này rất dài và khá phức tạp.
1. Cách vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc n .
Bài toán 1
Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng (d1) và (d2) vuông góc với nhau, và n điểm T0, T1, …, Tn–1 (n>=1) không nằm trên hai đường thẳng (d1) và (d2). Lấy điểm M0 nào đó trên (d1). Qua M0 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H0 và cũng qua M0 vẽ đường thẳng (d) cùng phương với với (d2), đường thẳng H0T0 cắt đường thẳng (d) tại M1. Qua M1 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H1, đường thẳng H1T1 cắt đường thẳng (d) tại M2. Cứ như thế…, qua Mn-1 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại Hn–1, đường thẳng Hn-1Tn-1 cắt đường thẳng (d) tại Mn . Tìm quỹ tích các điểm Mn khi M0 chạy trên đường thẳng (d1).
Giải bài toán 1 bằng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng ta có quỹ tích của bài toán là đồ thị hàm số có phương trình dạng thu gọn .
Quy tắc xác định hàm số đa thức bậc n như bài toán 1 là vét hết những hàm số đa thức bậc n có hệ số thực.
Từ bài toán 1 tôi đề ra thuật toán vẽ đồ thị hàm số như sau
B1: Xác định n điểm sinh .
B2: Xác định hai đường sinh (d1): , (d2): x = 1.
B3: Lấy điểm M0 nào đó trên (d1).
Qua M0 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H0 và cũng qua M0 vẽ đường thẳng (d) vuông góc với trục hoành Ox, đường thẳng H0T0 cắt đường thẳng (d) tại M1.
Qua M1 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H1, đường thẳng H1T1 cắt đường thẳng (d) tại M2.
Cứ như thế…, qua Mn-1 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại Hn–1, đường thẳng Hn -1Tn -1 cắt đường thẳng (d) tại Mn .
Khi đó ta cho M0 chạy trên đường thẳng (d1) thì điểm Mn vạch nên đồ thị hàm số đa thức (Cn):.
Ví dụ 1 : Vẽ đồ thị hàm số
B1: Xác định 4 điểm sinh (thực hiện lệnh Grah / Slow Grid / Plot Points…)
B2 : Vẽ hai đường sinh (d1): , (d2): x = 1 (thực hiện lệnh Plot Points… để xác định hai điểm có toạ độ ; để vẽ đường thẳng (d1) ta chọn điểm A và chọn trục tung rồi thực hiện lệnh Construct / Perpendicular Line; để vẽ đường thẳng (d2) ta chọn điểm B và chọn trục hoành sau đó thực hiện lệnh Construct / Perpendicular Line).
B3 : Lấy điểm M0 nào đó trên (d1), qua M0 dựng đường thẳng (d) vuông góc với (d1) (chọn M0 , chọn đường thẳng (d1), thực hiện lệnh Construct / Perpendicular Line).
Qua M0 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H0, đường thẳng H0T0 cắt đường thẳng (d) tại M1 (chọn điểm M0 , chọn đường thẳng (d2), thực hiện lệnh Construct / Perpendicular Line; chọn hai điểm H0 ,T0 rồi thực hiện lệnh Construct / Line ).
Qua M1 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H1, đường thẳng H1T1 cắt đường thẳng
(d) tại M2 (chọn điểm M1, chọn đường thẳng (d2), thực hiện lệnh Construct / Perpendicular Line; chọn hai điểm H1 ,T1 rồi thực hiện lệnh Construct / Line).
Qua M2 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H2, đường thẳng H2T2 cắt đường thẳng (d) tại M3 .(chọn điểm M2 , chọn đường thẳng (d2), thực hiện lệnh Construct / Perpendicular Line; chọn hai điểm H2, T2 rồi thực hiện lệnh Construct / Line).
Qua M3 vẽ đường thẳng vuông góc với (d2) tại H3, đường thẳng H3T3 cắt đường thẳng (d) tại M4 (chọn điểm M3 , chọn đường thẳng (d2), thực hiện lệnh Construct / Perpendicular Line; chọn hai điểm H3 ,T3 rồi thực hiện lệnh Construct / Line).
B4 : Chọn điểm M4, tạo vết và chọn màu (thực hiện lệnh Display / Trace Point / Color)
B5 : Chọn điểm M1, thực hiện lệnh Display / Animate Point thì điểm M4 đã được tô màu vạch nên đồ thị (C4). Xem hình 1.


2. Cách vẽ đồ thị hàm số tử và mẫu không có nghiệm chung)
Bài toán 2
Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng cắt nhau (d1) và (d2) tại M0, I là một điểm cho trước sao cho . Lấy điểm A trên đường thẳng (d1), đường thẳng AI cắt đường thẳng (d2) tại B. Qua A và B kẻ hai đường thẳng lần lượt song song với hai đường thẳng (d2) và (d1) và hai đường thẳng này cắt nhau tại M. Tìm quỹ tích các điểm M khi điểm A chạy trên đường thẳng (d1).
Giải bài toán 2 bằng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng ta có quỹ tích của bài toán là đồ thị hàm số có phương trình dạng thu gọn tử và mẫu không có
nghiệm chung).
Từ bài toán 2 tôi đề ra thuật toán vẽ đồ thị hàm tử và mẫu không có nghiệm chung) như sau.
B1 : Vẽ hai tiệm cận và xác định giao điểm I của hai tiệm cận đó.
B2 : Lấy một điểm M0 nằm trên đồ thị hàm số, vẽ hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt song song với hai tiệm cận và đi qua M0.
B3: Lấy một điểm A nằm trên đường thẳng (d1), đường thẳng AI cắt đường thẳng (d2) tại B. Qua hai điểm A và B kẻ hai đường thẳng lần lượt song song với (d2) và (d1) và hai đường thẳng này cắt nhau tại M.
Khi đó điểm A chạy trên (d1) thì điểm M vạch nên đồ thị hàm
tử và mẫu không có nghiệm chung).
Ví dụ 2 : Vẽ đồ thị hàm số
B1 : Vẽ hai tiệm cận () : y = - x +1, (’) : x = 1, xác định giao điểm hai tiệm cận là I(1; 0). (thực hiện lệnh Grah / Plot New Function…)
B2 : Lấy M0(0; 4) , qua M0 vẽ hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt song song với hai tiệm cận (thực hiện lệnh Grah / Slow Grid / Plot Points… để xác
định điểm M0 ; chọn điểm M0 và hai đường thẳng (), (’) rồi thực hiện lệnh Construct / Parallel Line).
B3 : Lấy điểm A (d1), đường thẳng AI cắt đường thẳng (d2) tại B. Qua hai điểm A và B kẻ hai đường thẳng lần lượt song song với (d2) và (d1) và hai đường thẳng này cắt nhau tại M. (chọn hai điểm A, I thực hiện lệnh Construct / Line; chọn điểm A, chọn đường thẳng (d2) thực hiện lệnh Construct / Parallel Line; chọn điểm B, chọn đường thẳng (d1) thực hiện lệnh Construct / Parallel Line).
B4 : Chọn điểm M, tạo vết và chọn màu (thực hiện lệnh Display / Trace Point / Color).
B5 : Chọn điểm A, thực hiện lệnh Display / Animate Point thì điểm M đã được chọn màu vạch nên đồ thị . Xem hình 2.


3. Cách vẽ đồ thị hàm số
Bài toán 3
Trong mặt phẳng cho ba đường thẳng phân biệt (d1) ,(d2) và (d3) trong đó (d1) vuông góc với (d2) và (d3). Trên đường thẳng (d3) lấy n điểm T0, T1, …, Tn–2, Tn–1 (n  1) sao cho không có điểm nào trùng với giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d3). Lấy điểm M0 nào đó trên (d1) (M0 không trùng với giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d3)). Đường thẳng T0M0 cắt (d2) tại H0, đường thẳng qua H0 vuông góc với (d2) cắt đường thẳng (d) tại M1. Đường thẳng T1M1 cắt (d2) tại H1, đường thẳng qua H1 vuông góc với (d2) cắt đường thẳng (d) tại M2. Đường thẳng T2M2 cắt (d2) tại H2, đường thẳng qua H2 vuông góc với (d2) cắt đường thẳng (d) tại M3. Cứ tiếp tục như thế …, đường thẳng Tn-1Mn-1 cắt (d2) tại Hn-1, đường thẳng qua Hn -1 vuông góc với (d2) cắt đường thẳng (d) tại Mn. Tìm quỹ tích các điểm Mn khi M0 chạy trên đường thẳng (d1).
Giải bài toán 3 bằng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng ta có quỹ tích của bài toán là đồ thị hàm số có phương trình dạng thu gọn .
Từ bài toán 3 tôi đề ra thuật toán vẽ đồ thị hàm số
như sau.
B1: Xác định n điểm sinh .
B2: Xác định hai đường sinh (d1): , (d2): x = 1.
B3: Lấy điểm M0 nào đó trên (d1).
Đường thẳng T0M0 cắt (d2) tại H0, đường thẳng qua H0 vuông góc với (d2) cắt đường thẳng (d) tại M1.
Đường thẳng T1M1 cắt (d2) tại H1, đường thẳng qua H1 vuông góc với (d2) cắt đường thẳng (d) tại M2.
Đường thẳng T2M2 cắt (d2) tại H2, đường thẳng qua H2 vuông góc với (d2) cắt đường thẳng (d) tại M3.
Cứ tiếp tục như thế …, đường thẳng Tn-1Mn-1 cắt (d2) tại Hn-1, đường thẳng qua Hn-1 vuông góc với (d2) cắt đường thẳng (d) tại Mn.
Khi đó ta cho M0 chạy trên đường thẳng (d1) thì điểm Mn vạch nên đồ thị hàm số .
Ví dụ 3 : Vẽ đồ thị hàm số .
B1: Xác định 3 điểm sinh: (thực hiện lệnh Grah / Slow Grid / Plot Points…)
B2 : Xác định hai đường sinh (d1): y = 6, (d2): x = 1 (thực hiện lệnh Plot Points… để xác định hai điểm có toạ độ ; để vẽ đường thẳng (d1) ta chọn điểm P và chọn trục tung rồi thực hiện lệnh Construct / Perpendicular Line; để vẽ đường thẳng (d2) ta chọn điểm Q và chọn trục hoành sau đó thực hiện lệnh Construct / Perpendicular Line).
B3: Lấy điểm M0 nào đó trên (d1), qua M0 dựng đường thẳng (d) vuông góc với (d1)
(chọn điểm M0, chọn đường thẳng (d1) thực hiện lệnh Construct / Perpendicular Line).
Đường thẳng T0M0 cắt (d2) tại H0, đường thẳng qua H0 vuông góc với (d2) cắt đường
thẳng (d) tại M1. (chọn hai điểm M0, T0 thực hiện lệnh Construct / Line; chọn điểm H0 , chọn đường thẳng (d2) rồi thực hiện lệnh Construct / Perpendicular Line)
Đường thẳng T1M1 cắt (d2) tại H1, đường thẳng qua H1 vuông góc với (d2) cắt đường thẳng (d) tại M2. (chọn hai điểm M1, T1 thực hiện lệnh Construct / Line; chọn điểm H1 , chọn đường thẳng (d2) rồi thực hiện lệnh Construct / Perpendicular Line).
Đường thẳng T2M2 cắt (d2) tại H2, đường thẳng qua H2 vuông góc với (d2) cắt đường thẳng (d) tại M3. (chọn hai điểm M2, T2 thực hiện lệnh Construct / Line; chọn điểm H2 , chọn đường thẳng (d2) rồi thực hiện lệnh Construct / Perpendicular Line).
B4 : Chọn điểm M3 , tạo vết và chọn màu (thực hiện lệnh Display / Trace Point / Color).
B5 : Chọn điểm M0 , thực hiện lệnh Display / Animate Point thì điểm M3 đã được tô màu vạch nên đồ thị . Xem hình 3.


4. Kết luận
Cách vẽ đồ thị hàm số bằng phần mềm The Geometer’s Sketchpad thông qua bài toán
quỹ tích tương ứng như đã trình bày trên là một cách vẽ mới mang tính hình học động. Với cách vẽ đồ thị hàm số như thế này sẽ cho chúng ta có một góc nhìn hình học về đồ thị hàm số đại số; tiết dạy về đồ thị hàm số đại số cơ bản có sử dụng công nghệ thông tin trở nên sinh động, hấp dẫn hơn.
Phú vang, tháng 4 năm 2006
Tác giả
Tôn Thất Hiệp
Tài liệu tham khảo :
1) Đề tài khoa học cấp ngành năm 2006 : “Từ phương trình đồ thị hàm số đại số đến bài toán quỹ tích hình học phẳng” của tác giả Tôn Thất Hiệp.
2) Trần Dư Sinh, Hướng dẫn sử dụng phần mềm hình học The Geometer’s Sketchpad, năm 2004, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tác giả : Tôn Thất Hiệp, giáo viên trường THPT Phan Đăng Lưu, Phú Vang, Thừa Thiên -Huế.
Địa chỉ liên lạc : Số 28 kiệt 42, Nguyễn Công Trứ, thành phố Huế, Tỉnh Thừa Thiên - Huế.
E mail : Tonthathiep_pdl@.yahoo.com
Điện thoại cơ quan : 054.850157
Điện thoại nhà riêng : 054.850411
URL của bài viết này::http://www.schoolnet.vn/modules.php?name=News&file=article&sid=362
© Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong contact: sales@schoolnet.vn