Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong http://www.schoolnet.vn
Toán 10 - Chương III: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
02/11/2010

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

1. Định nghĩa đường elip




Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L10_cb_Ch3_h3.18a.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L10_cb_Ch3_h3.18b.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe

1. Quan sát mặt nước trong cốc nước cầm nghiêng (h.3.18a). Hãy cho biết đường được đánh dấu bởi mũi tên có phải là đường tròn hay không?


2. Hãy cho biết bóng của một đường tròn trên một mặt phẳng (h.3.18b) có phải là một đường tròn hay không?


Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm F 1 và F 2(h.3.19). Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn 2 F 1F 2. Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm nào đó. Đặt đầu bút chì tại điểm rồi di chuyển sao cho dây luôn căng. Đầu bút chì vạch nên một đường mà ta gọi là đường elip.

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch3_h3.19.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch3_h3.19_1.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Cho hai điểm cố định F 1 , F 2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F 1F 2 . Elip là tập hợp các điểm trong mặt phẳng sao cho
F 1M + F 2M = 2a.

Các điểm F 1 và F 2 gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài F1F2 gọi là tiêu cự của elip.

2. Phương trình chính tắc của elip

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch3_h3.20.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

>

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch3_h3.20_1.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Cho elip (E) có các tiêu điểm F 1 và F2.Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F 1M + F 2 M = 2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1 = (-C;0) và F 1 = (C;0). Khi đó người ta chứng minh được:


trong đó b 2 = a2 - c2..

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip.

3.Trong phương trình (1) hãy giải thích vì sao ta luôn đặt được b 2 = a2 - c2.

3. Hình dạng của elip

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch3_h3.21.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Xét elip (E) có phương trình (1):

a) Nếu điểmM(x,y) thuộc (E) thì các điểm M 1(-x,y),M2(x,-y) và M3(-x,-y) cũng thuộc (E) (h.3.21).

Vậy (E) có các trục đối xứng là Ox,Oy và có tâm đối xứng là gốc O.


Các điểm A1, A2, B1 và B2 gọi là các đỉnh của elip.

Đoạn thẳng A1 A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ của elip.


là trục lớn còn B1 B2 = 2 là trục nhỏ.

4.Hãy xác định tọa độ các tiêu điểm và vẽ hình elip trong ví dụ trên.

4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

a) Từ hệ thức b2 = a2 - c2 ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.

b) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình

x2 + y2= a2.

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch3_h3.22.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Với mỗi điểm M(x;y) thuộc đường tròn ta xét điểm M’(x’;y’) sao cho


thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình


Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E).

Câu hỏi và bài tập

1. Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của các elip có phương trình sau:


2. Lập phương trình chính tắc của elip, biết

a) Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6;

b) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

3. Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:


4. Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80 cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?


5. Cho hai đường tròn C1(F1;R1) và C2(F2;R2). C1 nằm trong C2 và F1#F2. Đường tròn C thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với C1 và tiếp xúc trong với C2. Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn C di động trên một elip.

Bài đọc thêm

Ba đường cônic
và quỹ đạo của tàu vũ trụ

p align=center>


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L10_cb_Ch3_h3.23a.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L10_cb_Ch3_h3.23b.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L10_cb_Ch3_h3.23c.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe

. Khi cắt một mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng không đi qua đỉnh và không vuông góc với trục của mặt nón, người ta nhận thấy người đường elip ra, có thể còn hai loại đường khác nữa là parabol và hyperbol (h.3.23). Các đường nói trên thường được gọi là ba đường cônic (do gốc tiếng Hi Lạp Konos nghĩa là mặt nón).

2. Dưới đây là vài ví dụ về hình ảnh của ba đường cônic trong đời sống hằng ngày:

- Bóng của một quả bóng đá trên mặt sân thường có hình elip (h.3.24).

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch3_h3.24.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

- Tia nước từ vòi phun ở công viên thường là đường parabol (h.3.25)

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch3_h3.25.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

- Bóng của đèn ngủ in trên tường có thể là đường hypebol (h.3.26)

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch3_h3.26.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

3. Tàu vũ trụ được phóng lên từ Trái Đất luôn bay theo những quỹ đạo, quỹ đạo này thường là đường tròn, elip, parabol hoặc hypebol. Hình dạng của quỹ đạo phụ thuộc vào vận tốc của tàu vũ truh (h.3.27). Ta có bảng tương ứng giữa tốc độ và quỹ đạo như sau.


Ngoài ra người ta còn tính được các tốc độ vũ trụ tổng quát, nghĩa là tốc độ của các thiên thể chuyển động đối với các thiên thể khác dưới tác dụng của lực hấp dẫn tương hỗ. Ví dụ để phóng một tàu vũ trụ thoát li được Mặt Trăng trở về Trái Đất thì cần tạo cho tàu một tốc độ ban đầu là 2,38 km/s.

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch3_h3.27.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Bạn có biết

Giô-han Kê-ple và quy luật

chuyển động của các hành tinh

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch3_h3.28.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Giô-han Kê-ple (Johannes Kepler, 1571-1630) là nhà thiên văn người Đức. Ông là một trong những người đã đặt nền móng cho khoa học tự nhiên. Kê-ple sinh ra ở Vu-tem-be (Wurtemberg) trong một gia đình nghèo, 15 tuổi theo học trường dòng. Năm 1593 ông tốt nghiệp Học viện Thiên văn và Toán học vào loại xuất sắc và trở thành giáo sư trung học. Năm 1600 ông đến Pra-ha và cùng làm việc với nhà thiên văn nổi tiếng Ti-cô Bra.

Kê-ple nổi tiếng nhờ phát minh ra các định luật chuyển động của các hành tinh:

1. Các hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời theo các quỹ đạo là các đường elip mà Mặt Trời là một tiêu điểm.

2. Đoạn thẳng nối từ Mặt Trời đến hành tinh quét được những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. Chẳng hạn nếu xem Mặt Trời là tiêu điểm F và nếu trong cùng một khoảng thời gian t, một hành tinh di chuyển từ M đếnM 2 hoặc từ M1’ đến2’ thì diện tích hai hình FM1M2 và FM1’M2’ bằng nhau (h.3.28).

3.Nếu gọiT 1, T2 lần lượt là thời gian để hai hành tinh bất kì bay hết một vòng quanh Mặt Trời và gọi a1,a2 lần lượt là độ dài nửa trục lớn của elip quỹ đạo của hai hành tinh trên thì ta luôn có


Các định luật nói trên ngày nay trong thiên văn gọi là ba định luật Kê-ple.
URL của bài viết này::http://www.schoolnet.vn/modules.php?name=News&file=article&sid=4782
© Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong contact: sales@schoolnet.vn