Toán 11 - Chương 1. VECTƠ - Bài 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
03/11/2010

Bài 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Trong thực tế ta thường gặp rất nhiều hình có trục đối xứng như hình con bướm, ảnh mặt trước của một số ngôi nhà, mặt bàn cờ tướng… Việc nghiên cứu phép đối xứng trục trong mục này cho ta một cách hiểu chính xác khái niệm đó.


Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch1_h1.9.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

I. ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa

Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d (h.1.10)).

Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch1_h1.10.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản là trục đối xứng.
Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd.

Nếu hình H ’ là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H’ qua d, hay H và H’ đối xứng nhau qua d.

Ví dụ 1. Trên hình 1.11 ta có các điểm A’, B’, C’ tương ứng là ảnh của các điểm A, B, C qua phép đối xứng trục d và ngược lại.

Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch1_h1.11.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

1. Cho hình thoi ABCD (h.1.12). Tìm ảnh của các điểm A,B, C, D qua phép đối xứng trục AC.

Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch1_h1.11.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Nhận xét

1) Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M trên đường d. Khi đó:

2. Chứng minh nhận xét 2.

II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

1) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm M = (x, y), gọi M’ = Đd(M) = (x’; y’) (h.1.13)

Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox.

Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch1_h1.13.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

3. Tìm ảnh của các điểm A(1;2), B(0; - 5) qua phép đối xứng trục Ox.
2) Cho hệ tọa độ Oxy sao cho Oxy sao cho trục Oy trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm M= (x,y), gọi M’ = Đd(M) = (x’,y’) (h.1.14) thì:

Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy.

Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch1_h1.14.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

4. Tìm ảnh của các điểm A(1; 2), B(5;0) qua phép đối xứng trục Oy.

III. TÍNH CHẤT

Người ta chứng minh được các tính chất sau:

Tính chất 1.

Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

5. Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với trục đối xứng, rồi dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox để chứng minh tính chất 1.

Tính chất 2.

Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch1_h1.15.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

IV. TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH

Định nghĩa

Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H thành chính nó.

Khi đó, ta nói H là hình có trục đối xứng.

Ví dụ 2.

a) Mỗi hình trong hình 1.16 là hình có trục đối xứng.

Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch1_h1.16.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch1_h1.16_1.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

b) Mỗi hình trong hình 1.17 là hình không có trục đối xứng

Tải trực tiếp tệp hình học động:L11cb_Ch1_h1.17.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

6. a) Trong những chữ cái dưới đây, chữ nào là hình có trục đối xứng?


b) Tìm một số hình tứ giác có trục đối xứng

BÀI TẬP

1. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox.

2. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x – y + 2 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.

3. Trong các chữ cái sau, chữ nào là hình có trục đối xứng?
URL của bài viết này::http://www.schoolnet.vn/modules.php?name=News&file=article&sid=4790