Toán 11 - Chương III.Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc - Bài 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
05/11/2010

I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.



1. Góc giữa hai vectơ trong không gian.



Định nghĩa



Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.11.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

1. Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau:

2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian



Định nghĩa

Giải





Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.12.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.

II. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG



1. Định nghĩa



Vectơ khác vectơ-không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng d (h.3.13).


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.13.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

2. Nhận xét



a) Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ cũng là vectơ chỉ phương của d.



b) Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương của nó.



c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng hướng.



III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN



Trong không gian cho hai đường thẳng a, b bất kì. Từ một điểm O nào đó ta vẽ hai đường thẳng a’ và b’ lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa a’ và b’ không thay đổi. Do đó ta có định nghĩa.



1. Định nghĩa



Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b. (h.3.14).


Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.14.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

2. Nhận xét



a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

3. Cho hình lập phươngABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:



a) AB và B’C’; b) AC và B’C’ c) A’C’ và B’C.



Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và AC.

Giải





Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.15.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC



1. Định nghĩa



Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900


Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a b.



2. Nhận xét



a) Nếu lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: a


b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.



c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.



Ví dụ 3.



Cho tứ diện ABCD có AB AC và AB BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Giải





Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn phải chuột vào liên kết rồi chọn Save Target As ): L11cb_Ch3_h3.16.cg3

Xem trực tiếp hình học động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

4. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. Hãy nêu tên các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với:



a) đường thẳng AB; b) đường thẳng AC.



5. Tìm những hình ảnh trong thực tế minh họa cho sự vuông góc của hai đường thẳng trong không gian (trường hợp cắt nhau và trường hợp chéo nhau).

BÀI TẬP

1. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB CD và AC DB thì AD BC.



3. a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không?



b) Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với đường thẳng c hay không?



4. Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’, C’A. Chứng minh rằng:



a) AB CC’



b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.



5. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và có . Chứng minh rằng SA BC, SB AC, SC AB.



6. Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC’D’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O’. Chứng minh rằng AB OO’ và tứ giác CDD’C’ là hình chữ nhật.



7. Cho S là diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) AB CD.



b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN AB và MN CD.
URL của bài viết này::http://www.schoolnet.vn/modules.php?name=News&file=article&sid=4811