Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong http://www.schoolnet.vn
CHƯƠNG III: QUAN HỆ VUÔNG GÓC - HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
19/04/2007

Chương III chương trình toán hình 11 sẽ tiếp tục được trình bày. Tất cả bài học với các ví dụ được thực hiện rất trực quan sinh động. Hi vọng có thể giúp các bạn học sinh học toán hình tốt hơn, bổ trợ các bài giảng của các thầy cô thêm thú vị hơn.

1. Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau.

Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O (h. 46). Chúng tạo thành bốn góc (khác góc bẹt).


Hình 46. Góc giữa hai đường thẳng trên mặt phẳng.

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Các đường thẳng a, b chuyển động tự do trên măt phẳng với giao điểm O. Góc giữa hai đường thẳng được tính trực tiếp là góc giữa hai đường thẳng trên mặt phẳng.Hai đường thẳng a, b được điều khiển bởi 2 điểm. Mặt phẳng chính được điều khiển bởi 1 điểm (màu đỏ) theo phương thẳng đứng.

Định nghĩa: Số góc của góc nhỏ nhất trong bốn góc đó được gọi là số đo góc hợp bởi hai đường thẳng a, b hay đơn giản là góc giữa hai đường thẳng a, b, kí hiệu là góc (a, b) hay góc (b,a)

Đặc biệt:

• Khi a và b trùng nhau thì

góc(a, b) = 0º

• Khi a và b vuông góc thì

góc(a, b) = 90º

Như vậy: 0º ≤ (a, b) ≤ 90º

2. Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian.

Cho hai đường thẳng bất kì a và b trong không gian. Từ một điểm O nào đó ta vẽ hai đường thảng a', b' lần lượt song song với a và b

Hình 47. Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian.

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian được tính bởi góc giữa hai đường thẳng a’, b’. Đường thẳng a’ luôn // a, đường thẳng b’ luôn // b. Điểm O có thể dịch chuyển tự do trong không gian. Hai đường thẳng a, b cũng chuyển động tự do trong không gian và đều được xác định bởi 2 điểm. Dịch chuyển điểm O để quan sát sự thay đổi và chuyển động của các đường thẳng a’, b’.

Ta dễ thấy rằng, khi điểm O thay đổi thì góc giữa a', b' không thay đổi. Vì vậy ta có thể định nghĩa.

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a, b là góc giữa hai đường thẳng a’, b' cùng đi qua một điểm O nào đó, lần lượt song song với a và b.

Ta vẫn kí hiệu góc giữa hai đường thẳng a và b là góc (a, b) hay (b, a) và ta chú ý rằng để xác định (a, b) ta có thể lấy điểm O nằm ngay trên một trong hai đường thẳng đó.

3. Hai đường thẳng vuông góc

Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900

Hình 48. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian.

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Hai đường thẳng a, b luôn vuông góc với nhau trong không gian. Các điểm điều khiển chính của các đường thẳng a, b là các điểm A, B. Các điểm A, B có thể chuyển động tự do trong không gian.

Ta kí hiệu hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau là a ⊥ b hay b ⊥ a

Như vậy:

a ⊥ b ⇔ (a, b) = 90¬º

Chú ý rằng định nghĩa này cũng phù hợp với định nghĩa hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng.

4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của hai đường thẳng.

Từ định nghĩa trên ta có ngay tính chất sau:

Định lí: Cho hai đường thẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì vuông góc với đường thẳng thứ hai.

a// b và c ⊥ a ⇒ c ⊥ b

Chú ý

1) Hai đường thẳng vuông góc trong không gian thì hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

2) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau, nhưng trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì không phải khi nào cũng song song với nhau.

5. Các ví dụ.

Ví dụ1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Cho biết AB = CD = 2a và MN = .

Tính góc ( AB, CD)

Giải. Gọi O là trung điểm của AC ta có OM = ON = a

Hình 49. Minh họa cho ví dụ 1.

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Gọi H là trung điểm của MN. trong tam giác OMN ta có:

Từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng OM và ON là :

Góc (OM, MN) = 180º – 120º = 60º

Ta có: AB//OM, CD//ON

Vậy góc (AB, CD) = (OM, ON)= 60º

Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC, AC.

a) Chứng minh rằng MN ⊥ RP và MN ⊥ RQ

b) Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Giải.

a) Ta có

Hình 50. Minh họa cho ví dụ 2.

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Tứ diện ABCD là một tứ diện đều với đỉnh A chuyển động tự do còn các đỉnh còn lại chuyển động tự do trên mặt phẳng.

nên tam giác MCD cân, từ đó MN ⊥ CD.

ta lại có RP // CD nên MN ⊥ RP.

Tương tự MN ⊥ RQ

b) Tương tự như câu trên ta cũng có QP ⊥ AD.

Trong tam giác vuông QDP ta có :

Ta có:

Nghĩa là RQ ⊥ RP

Vì AB //RQ và CD//RP, nên từ đó suy ra AB ⊥ CD.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

1. Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC ⊥ B'D' ⊥ CD', AD' ⊥ CB'.

2. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi M là trung điểm của BC.

Tính cosin của góc (AB, DM)

3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD =b, AD = BC =c.

a) Chứng minh các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó

b) Tính cosin của góc hợp bởi các đường thẳng AC và BD.

4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành với AB =a, AD =2a, SAB là tam giác vuông cân tại A, M là điểm trên cạnh AD (M khác A và D). Mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.

a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.

b) Đặt x = AM.Tính diện tích của MNPQ theo a và x.


URL của bài viết này::http://www.schoolnet.vn/modules.php?name=News&file=article&sid=843
© Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong contact: sales@schoolnet.vn