BÀI 1. CÁC ĐỊNH NGHĨA

1. Vectơ là gì?

Trong Vật lí, những đại lượng như vận tốc, gia tốc, lực,… được gọi là đại lượng có hướng. Để xác định các đại lượng đó, ngoài cường độ của chúng, ta còn phải biết hướng của chúng nữa.

Ví dụ: Một chiếc tàu thủy chuyển động thẳng đều với tốc độ 20 hải lí một giờ, hiện nay đang ở vị trí M. Hỏi sau 3 giờ nữa nó sẽ ở đâu?

?1 Các em có thể trả lời câu hỏi đó không? Vì sao?

Hình 1

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch1_h1.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Hình 1 là hải đồ một vùng biển tại một thời điểm nào đó. Có hai tàu thủy chuyển động thẳng đều mà vận tốc được biểu thị bằng mũi tên. Các mũi tên vận tốc cho ta thấy: Tàu A chuyển động theo hướng Đông, còn tàu B chuyển động theo hướng Đông - Bắc. Tốc độ tàu A bằng một nửa tàu B (do mũi tên của tàu A dài bằng một nửa mũi tên của tàu B).

Như vậy, các đại lượng có hướng thường được biểu thị bằng những mũi tên được gọi là những VECTƠ. Vectơ là một đoạn thẳng nhưng có hướng. Để biểu thị cho hưởng của đoạn thẳng ta thêm dấu "" vào một trong hai điểm mút của đoạn thẳng đó.

Giả sử có đoạn thẳng AB (cũng có thể viết là đoạn thẳng BA). Nếu thêm dấu "" vào điểm B thì ta có vectơ với điểm đầu là A và điểm cuối là B (h2.a). Nếu ta thêm dấu "" vào điểm A thì ta được vectơ với điểm đầu là B và điểm cuối là A (h2.b). Như vậy, vectơ là một đoạn thẳng đã xác định một hướng nào đó trong hai hướng có thể có của đoạn thẳng đã cho. Hướng của vectơ là hướng đi từ điểm đầu đến điểm cuối.

Hình 2

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch1_h2.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Định nghĩa:

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.

Kí hiệu

Nếu vectơ có điểm đầu là M và điểm cuối là N thì ta kí hiệu vectơ đó là .

Nhiều khi để thuận tiện, ta cũng kí hiệu một vectơ xác định nào đó bằng một chữ in thường, với mũi tên ở trên. Chẳng hạn vectơ …

Vectơ-không

Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối; mỗi vectơ hoàn toàn được xác định nếu cho biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Bây giờ, với mỗi điểm M bất kì, ta quy ước có một vectơ mà điểm đầu là M và điểm cuối cũng là M. Vectơ đó được kí hiệu là và gọi là vectơ-không (có gạch nối giữa hai từ).

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ-không.

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

Với mỗi vectơ (khác vectơ-không), đường thẳng AB được gọi là giá của vectơ . Còn đối với vectơ-không thì mọi đường thẳng đi qua A đều gọi là giá của nó.

Hình 3

Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_nc_ch1_h3.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

a) Trên hình 3, ta có các vectơ .

Hãy chú ý đến hai vectơ và , chúng có giá song song với nhau. Hai vectơ và cũng có giá song song. Còn hai vectơ và thì có giá trùng nhau.

Trong các trường hợp đó, ta nói rằng: các vectơ , , có cùng phương hay đơn giản là cùng phương.

Hai vectơ và có giá cắt nhau. Ta nói hai vectơ đó không cùng phương. Vậy ta có định nghĩa

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

Rõ ràng vectơ-không cùng phương với mọi vectơ.

b) Bây giờ hãy chú ý tới các cặp vectơ cùng phương trên hình 4.

Hình 4

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch1_h4.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Hai vectơ và cùng phương, và hơn thế các mũi tên hiển thị và có cùng hướng, cụ thể là hướng từ trái sang phải.

Trong trường hợp này, ta nói: Hai vectơ và cùng hướng.

Hai vectơ và cùng phương, tuy nhiên ta thấy rằng chúng không cùng hướng vì vectơ hướng lên phía trên, còn vectơ thì hướng xuống phía dưới.

Trong trường hợp này, ta nói: Hai vectơ và ngược hướng.

Như vậy:



CHÚ Ý:

Ta quy ước rằng vectơ-không cùng hướng với mọi vectơ.

Hai vectơ bằng nhau

Mỗi vectơ đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ được kí hiệu là .

Như vậy, đối với vectơ , ,… ta có



?2 Theo định nghĩa độ dài ở trên thì vectơ-không có độ dài bằng bao nhiêu?

Ta biết rằng hai đoạn thẳng gọi là bằng nhau nếu độ dài của chúng bằng nhau. Trên hình 5 ta có hình thoi ABCD. Bốn cạnh của hình thoi là bốn đoạn thẳng bằng nhau. Bởi vậy ta viết

AB = AD = DC = BC.

Hình 5

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch1_h5.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

?3 Hai vectơ và trên hình 5 cũng có độ dài bằng nhau, nhưng liệu chúng ta có nên nói rằng chúng bằng nhau và viết = hay không? Vì sao vậy?

Còn đối với hai vectơ và thì có nhận xét gì về độ dài và hướng của chúng?

Một cách tự nhiên ta định nghĩa hai vectơ bằng nhau như sau:

ĐỊNH NGHĨA

Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Nếu hai vectơ và bằng nhau thì ta viết =

CHÚ Ý

Theo định nghĩa trên thì các vectơ-không đều bằng nhau: . Bởi vậy, từ nay các vectơ-không được kí hiệu chung là .

1. Hãy vẽ một tam giác ABC với trung tuyến AD, BE, CF, rồi chỉ ra các bộ ba vectơ khác và đôi một bằng nhau (các vectơ này có điểm đầu và điểm cuối được lấy trong sáu điểm A, B, C, D, E, F).

Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì có thể viết hay không? Vì sao?

2. Cho vectơ và một điểm O bất kì. Hãy xác định điểm A sao cho . Có bao nhiêu điểm A như vậy?

Trong Vật lí, một lực thường được biểu thị bởi một vectơ. Độ dài của vectơ biểu thị cho cường độ của lực, hướng của vectơ biểu thị cho hướng của lực tác dụng. Điểm đầu của vectơ đặt ở vật chịu tác dụng của lực (vật đó thường được xem như một điểm).

Trên hình 6, hai người đi dọc hai bên bờ kênh và cùng kéo một khúc gỗ đi ngược dòng. Khi đó có các lực sau đây tác dụng vào khúc gỗ: hai lực kéo và của hai người, lực của dòng nước, lực đẩy Ác-si-mét của nước lên khúc gỗ và trọng lực của khúc gỗ.

Hình 6

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch1_h6.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Uy-li-am Ha-min-tơn (William Hamilton)

Uy-li-am Ha-min-tơn (William Hamilton) là nhà toán học người Ai-len. Ông đã viết một trong những công trình toán học đầu tiên về vectơ. Ông là người xây dựng khái niệm qua-téc-ni-ông, một đại lượng giống như vectơ, có nhiều ứng dụng trong vật lí.

Câu hỏi và bài tập

1. Vectơ khác với đoạn thẳng như thế nào?

2. Các khẳng định sau đây có đúng không?

a) Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng phương.

b) Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác thì cùng phương.

c) Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba thì cùng hướng.

d) Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba khác thì cùng hướng. e) Hai vectơ ngược hướng với một vectơ khác thì cùng hướng.

f) Điều kiện cần và đủ để hai vectơ bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau.

3. Trong hình 7 dưới đây, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các vectơ cùng hướng và các vectơ bằng nhau.

Hình 7

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch1_h7.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

4. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

5. Cho lục giác đều ABCDEF. Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ và có

a) Các điểm đầu là B, F, C;

b) Các điểm cuối là F, D, C;

School@net