1. Định nghĩa tích của một vectơ với một số

Xét các vectơ trên hình 20. Ta hãy chú ý đến hai vectơ và . Hai vectơ đó có cùng hướng, và độ dài vectơ bằng hai lần độ dài vectơ , tức là . Trong trường hợp đó ta viết = 2 và nói rằng: Vectơ bằng 2 nhân với vectơ (hoặc bằng vectơ nhân với 2), hoặc vectơ là tích của vectơ với số 2.

Hình 20

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch1_h20.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Lại chú ý đến hai vectơ và . Hai vectơ này ngược hướng, và . Khi đó ta viết và nói rằng: Vectơ bằng -2 nhân với vectơ (hoặc bằng vectơ nhân với -2), hoặc vectơ là tích của vectơ với -2.

1. Vẽ hình bình hành ABCD.

a) Xác định điểm E sao cho .

b) Xác định điểm F sao cho .

ĐỊNH NGHĨA

Tích của vectơ với số thực k là một vectơ, kí hiệu là k, được xác định như sau

1) Nếu k $\ge$ 0 thì vectơ k cùng hướng với vectơ ;
Nếu k < 0 thì vectơ k ngược hướng với vectơ ;

2) Độ dài vectơ k bằng .
Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số (hoặc phép nhân số với vectơ).

Nhận xét. Từ định nghĩa ta thấy ngay 1 = , (˗1) là vectơ đối của , tức là (˗1) = ˗.

Ví dụ. Trên hình 21, ta có tam giác ABC với M và N lần lượt là trung điểm hai cạnh AB và AC. Khi đó ta có

Hình 21

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch1_h21.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

2. Các tính chất của phép nhân vectơ với số

Dựa vào định nghĩa phép nhân vectơ với số ta có thể chứng minh các tính chất sau đây


2. (Để kiểm chứng tính chất 3 với k = 3)

a) Vẽ tam giác ABC với giả thiết và .

b) Xác định điểm A' sao cho và điểm C' sao cho .

c) Có nhận xét gì về hai vectơ và ?

d) Hãy kết thúc việc chứng minh tính chất 3 bằng cách dùng quy tắc ba điểm.

CHÚ Ý



Bài toán 1. Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với điểm M bất kì, ta có .

Giải. (h. 22) Với điểm M bất kì, ta có



Như vậy



Ta biết rằng I là trung điểm của AB khi và chỉ khi . Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Hình 22

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch1_h22.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Bài toán 2. Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm M bất kì, ta có



3. (Để giải bài toán 2) (h. 23)

Hình 23

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch1_h23.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

a) Tương tự Bài toán 1, hãy biểu thị các vectơ qua vectơ và từng vectơ.

b) Tính tổng . Với chú ý rằng G là trọng tâm tam giác ABC, hãy suy ra điều phải chứng minh.

3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Ta đã biết rằng nếu = k thì hai vectơ và cùng phương. Điều ngược lại có đúng hay không?

Hình 24

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch1_h24.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

?1. Xem hình 24. Hãy tìm các số k, m, n, p, q sao cho .

Một cách tổng quát ta có



?2. Trong phát biểu ở trên, tại sao phải có điều kiện ?

Điều kiện để ba điểm thẳng hàng



Chứng minh. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ và cùng phương. Bởi vậy theo trên ta phải có .

Bài toán 3. Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh .
b) Chứng minh .
c) Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng.

Giải. (h. 25)

Hình 25

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch1_h25.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

a) Dễ thấy nếu tam giác ABC vuông.

Nếu tam giác ABC không vuông, gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khi đó

BH // DC (vì cùng vuông góc với AC),

BD // CH (vì cùng vuông góc với AB).

Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó I là trung điểm của HD. Từ đó

.



Suy ra ba điểm O, G, H thẳng hàng.

Đường thẳng đi qua ba điểm này gọi là đường thẳng Ơle của tam giác ABC.

4. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ và. Nếu vectơ có thể viết dưới dạng , với m và n là hai số thực nào đó, thì ta nói rằng: Vectơ biểu thị được qua hai vectơ và .

Một câu hỏi đặt ra là: Nếu đã cho hai vectơ không cùng phương và thì phải chăng mọi vectơ đều có thể biểu thị được qua hai vectơ đó?

Ta có định lí sau đây

ĐỊNH LÍ



Chứng minh

Từ một điểm O nào đó, ta vẽ các vectơ (h. 26).

Hình 26

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch1_h26.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Nếu điểm X nằm trên đường thẳng OA thì ta có số m sao cho .

Vậy ta có (lúc này n = 0).

Tương tự, nếu điểm X nằm trên đường thẳng OB thì ta có
(lúc này m = 0).

Nếu điểm X không nằm trên OA và OB thì ta có thể lấy điểm A' trên OA và B' trên OB sao cho OA'XB' là hình bình hành. Khi đó ta có , và do đó có các số m, n sao cho , hay


Bây giờ nếu còn có hai số m' và n' sao cho , thì .


Câu hỏi và bài tập

21. Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a. Hãy dựng các vectơ sau đây và tính độ dài của chúng



22. Cho tam giác OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm hai cạnh OA và OB. Hãy tìm các số m và n thích hợp trong mỗi đẳng thức sau đây



23. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng



24. Cho tam giác ABC và điểm G. Chứng minh rằng
a) Nếu thì G là trong tâm tam giác ABC;


25. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt . Hãy biểu thị mỗi vectơ qua các vectơ và .

26. Chứng minh rằng nếu G và G' lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A'B'C' thì


27. Cho lục giác ABCDEF. Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác PRT và QSU có trọng tâm trùng nhau.

28. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng

a) Có một điểm G duy nhất sao cho . Điểm như thế gọi là trọng tâm của bốn điểm A, B, C, D. Tuy nhiên, người ta vẫn quen gọi G là trọng tâm của tứ giác ABCD.

b) Trọng tâm G là trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối các trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của tứ giác.

c) Trọng tâm G nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.

School@net