Học sinh phải biết vận dụng các kiến thức cơ bản nêu trên để giải một số bài toán hình học và bài toán thực tế.

Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ (từ 0^o đến 180^o)

Ở lớp 9, các em đã biết về giá trị lượng giác (tỉ số lượng giác): sin, côsin, tang, côtang của một góc nhọn α và kí hiệu là sinα, cosα, tanα, cotα.

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch2_h32.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Trên hình 32 có một hệ tọa độ Oxy và một nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1, nằm phía trên trục Ox. Ta gọi nó là nửa đường tròn đơn vị.

Nếu cho trước một góc nhọn α thì ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho .

1. Giả sử (x ; y) là tọa độ điểm M (h.32). Hãy chứng tỏ rằng

Bây giờ chúng ta mở rộng định nghĩa giá trị lượng giác cho góc α bất kì (0^o≤ α ≤ 180^o). Ta làm điều đó bằng cách vẫn dùng nửa đường tròn đơn vị như trên.

1. Định nghĩa

Các số sinα, cosα, tanα, cotα gọi là các giá trị lượng giác của góc α.

Như vậy .

Ví dụ 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc 135^o.

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch2_h33.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Giải. (h.33) Ta lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Khi đó hiển nhiên . Từ đó suy ra độ của điểm M là

Vậy .

?1. Tìm các giá trị lượng giác của các góc 0^o, 180^o, 90^o.

?2. Với các góc α nào thì sinα < 0 ? Với các góc α nào thì cosα < 0?

2. (h.34)

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch2_h34.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Lấy hai điểm M và M’ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho MM’ // Ox.

a) Tìm sự liên hệ giữa hai góc và .

b) Hãy so sánh các giá trị lượng giác của hai góc α và α’.

Từ đó ta suy ra các tính chất sau đây

Nếu hai góc bù nhau thì sin của chúng bằng nhau, còn côsin, tang và côtang của chúng đối nhau; nghĩa là

sin(180^o - α) = sin α;

cos(180^o - α) = -cos α;

tan(180^o - α) = -tan α (α≠ 90^o)

cot(180^o - α) = -cot α(0^o < α < 180^o).

Ví dụ 2. Tìm các giá trị lượng giác của góc 150^o.

Giải. Góc 150^o bù với góc 30^o nên

2. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Sau đây là giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt mà ta nên nhớ (trong bảng dưới đây, kxđ là viết tắt của nhóm từ không xác định). Giá trị lượng giác của các góc bất kì có thể tìm thấy trong bảng số hoặc bằng máy tính bỏ túi.

Em có biết ?

CÁC TỪ SIN, CÔSIN, TANG, CÔTANG

Từ xa xưa, do nhu cầu đo đạc thiên văn, nhiều nhà toán học đã lập bảng độ dài dây cung căng bởi cung tròn (bán kính cho trước) có số đo 1^o, 2^o, 3 ^o,…, 180 ^o, trong đó có Hip-pac (Hipparque) ở thế kỉ thứ II trước công nguyên, Ptô-lê-mê (Ptolemey) ở thế kỉ thứ II sau công nguyên, v.v… Đó là nguồn gốc của khái niệm sin. Qua nhiều giai đoạn lịch sử, từ “jiva” (tiếng Ấn, có nghĩa là “dây cung”) được diễn dịch, phiên âm, đổi dần thành từ sinus bởi các nhà thiên văn, toán học như An Bat-ta-ni (Al Battani) ở thế kỉ thứ X, Giê-ra Crê-môn (Gérard Crémone) ở thế kỉ thứ XII, v.v…

Khái niệm tang, côtang nảy sinh từ việc khảo sát bong của vật thẳng đứng trên nền nằm ngang để tìm giờ trong ngày. Từ xa xưa, người ta cũng đã lập bảng các “bóng” (tức bảng tang, côtang).

Đến thế kỉ thứ XVI mới xuất hiện kí hiệu sin, tang (Tô-mat Phin (Thomas Finck)) và đầu thế kỉ thứ XVII mới xuất hiện kí hiệu côsin, côtang để chỉ sin, tang của góc phụ (Et-mơn Gơn-tơ (Edmund Gunter)). Các kí hiệu này dần dần được chấp nhận và sử dụng phổ cập.

Câu hỏi và bài tập

1.Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dung máy tính bỏ túi hoặc bảng số).

a) (2sin30^o + cos135^o – 3tan150^o)(cos180^o – cot60^o);

b) sin²90^o + cos²120^o+ cos²0^o – tan²60^o + cot²135^o

2.Đơn giản biểu thức

a) sin100^o + sin80^o + cos16^o + cos164^o;

b) 2sin(180^o - α)cotα– cot(180^o - α)tanαcot(180^o - α) với 0^o < α < 90^o

3.Chứng minh các hệ thức sau

a) sin²α + cos²α = 1;

b)

c) .

School@net