Giải. (h. 72) Gọi M′ là hình chiếu của M trên thì độ dài đoạn M′M chính là khoảng cách từ M đến .

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch3_h72.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Hiển nhiên cùng phương với vectơ pháp tuyến của , vậy có số k sao cho

Từ đó suy ra

Mặt khác, nếu gọi (x′ ; y′) là tọa độ của M′ thì từ (1) ta có

Vì M’ nằm trên nên a(x_M – ka) + b(y_M¬ – kb) + c = 0. Từ đó suy ra:

.

Thay giá trị của k vào (2) ta được:

1. Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng và điểm M(xM ; yM). Nếu M’ là hình chiếu (vuông góc) của M trên thì theo lời giải của Bài toán 1, ta có

Tương tự nếu có điểm N(xN, yN) với N’ là hình chiếu của N trên thì ta cũng có

?1. Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đối với khi k và k’ cùng dấu ? Khi k và k’ khác dấu ?

Ta có kết quả sau

Cho đường thẳngvà hai điểm M(xM ; yM), N(xN, yN) không nằm trên. Khi đó

Hai điểm M, N nằm cùng phía đối với khi và chỉ khi

2. Cho tam giác ABC có các đỉnh là A(1 ; 0), B(2 ; -3), C(-2 ; 4) và đường thẳng . Xét xem cắt cạnh nào của tam giác.

Ta có thể áp dụng công thức tính khoảng cách để viết phương trình các đường phân giác.

Bài toán 2. Cho hai đường thẳng cắt nhau, có phương trình

Chứng minh rằng phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng đó có dạng

3. Hãy giải Bài toán 2, với chú ý rằng điểm M thuộc một trong hai đường phân giác khi và chỉ khi nó cách đều hai đường thẳng (h. 73).

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch3_h73.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Ví dụ. Cho tam giác ABC với

Viết phương trình đường phân giác trong của góc A.

Giải. Dễ thấy các đường thẳng AB và AC có phương trình

AB : 4x – 3y + 2 = 0 và AC : y – 3 = 0.

Các đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc A có phương trình

Hay:

4x + 2y – 13 = 0 (đường phân giác d₁)

4x – 8y + 17 = 0 (đường phân giác d₂).

Do hai điểm B, C nằm cùng phía đối với đường phân giác ngoài và nằm khác phía đối với đường phân giác trong của góc A nên ta chỉ cần xét vị trí của B, C đối với một trong hai đường, chẳng hạn d₂. Thay tọa độ của B, C lần lượt vào vế trái của d₂ ta được.

4 – 16 + 17 = 5 > 0 và –16 – 24 + 17 = –23 < 0.

Tức là B, C nằm khác phía đối với d₂.

Vậy phương trình đường phân giác trong của góc A là

d₂: 4x – 8y + 17 = 0.

2. Góc giữa hai đường thẳng

ĐỊNH NGHĨA

Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b, hay đơn giản là góc giữa a và b.

Khi a song song hoặc trùng với b, ta quy ước góc giữa chúng bằng 0⁰.

?2. Trên hình 74, góc giữa hai đường thẳng a và b bằng bao nhiêu? Hãy so sánh góc đó với góc giữa hai vectơ và góc giữa hai vectơ .

Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_nc_ch3_h74.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Góc giữa hai đường thẳng a và b được kí hiệu , hay đơn giản là (a,b). Góc này không vượt quá 90⁰ nên ta có

4. Cho biết phương trình của hai đường thẳng và lần lượt là

Tìm tọa độ vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và tìm góc hợp bởi hai đường thẳng đó.

Bài toán 3

a) Tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng lần lượt cho bởi các phương trình

a₁x + b₁y + c₁ = 0 và a₂x + b₂y + c₂ = 0.

b) Tìm điều kiện để hai đường thẳng vuông góc với nhau.

c) Tìm điều kiện để hai đường thẳng y = kx + b và y = k’x + b’ vuông góc với nhau.

5.(Để giải Bài toán 3)

Viết tọa độ hai vectơ chỉ phương:

Hãy chứng tỏ rằng

Từ đó đi đến các kết quả sau đây

6. Tìm góc giữa hai đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

Câu hỏi và bài tập

15. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Côsin của góc giữa hai đường thẳng a và b bằng côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.

b) Nếu hai đường thẳng và lần lượt có phương trình px + y + m = 0 và x + py + n = 0 thì

c) Trong tam giác ABC ta có

d) Nếu là góc giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC thì

e) Hai điểm (7 ; 6) và (-1 ; 2) nằm về hai phía của đường thẳng y = x.

16. Cho ba điểm A(4 ; -1), B(-3 ; 2), C(1 ; 6). Tính góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC.

17. Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng ax + by + c = 0 một khoảng bằng h cho trước.

18. Cho ba điểm A(3 ; 0), B(-5 ; 4) và P(10 ; 2). Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B.

19. Cho điểm M(2 ; 3). Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ ở A và B sao cho ABM là tam giác vuông cân tại đỉnh M.

20. Cho hai đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P(3 ; 1) và cắt lần lượt ở A, B sao cho tạo với một tam giác cân có cạnh đáy là AB.

School@net