Tìm đường đi ngắn nhất với định tuyến Dijkstra
23/01/2009

Bài viết này xin giới thiệu với các bạn mới làm quen với tin học và thuật giải một thuật toán đơn giản nhưng lại có hiệu quả rất lớn trong việc tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị. Đó là thuật toán Dijkstra. Đây là thuật toán đã đăng tải trên tạp chí tin học & nhà trường từ những số đầu tiên nhưng bài viết này sẽ đăng tải đầy đủ về bài toán, phương thức đưa ra thuật giải cũng như đoạn chương trình đầy đủ. Rất thích hợp với những bạn mới làm quen với những thuật toán kinh điển.


Dijkstra là thuật toán định tuyến đơn giản để tìm đường đi ngắn nhất giữa 2 điểm bất kỳ. Không mất tính tổng quát, ta coi mỗi điểm (nút mạng) là một đỉnh của một đồ thị, ta sẽ dùng thuật toán Dijkstra để giải quyết bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa 2 điểm như sau:

Bài toán: Cho đồ thị G với tập đỉnh V và tập các cạnh E (đồ thị có hướng hoặc vô hướng). Mỗi cạnh của đồ thị được gán một nhãn (giá trị không âm), nhãn này còn được gọi là giá trị của cạnh. Cho trước một đỉnh xác định v, gọi là đỉnh nguồn. Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh v đến các đỉnh còn lại của G. (Tức là tìm đường đi từ v đến các đỉnh còn lại với tổng các giá của các cạnh trên đường đi là nhỏ nhất). Nếu như đồ thị có hướng thì đường đi này là đường đi có hướng.

Thuật toán Dijkstra: Ta có thể giải bài toán bằng cách xác định một tập hợp S chứa các đỉnh mà khoảng cách ngắn nhất từ nó đến đỉnh nguồn v đã biết. Khởi đầu S = { V }. Sau đó tại mỗi bước ta sẽ thêm vào S các đỉnh mà khoảng cách từ nó đến v là ngắn nhất. Với giả thiết rằng mỗi cung có một giá trị không âm thì ta luôn luôn tìm được một đường đi ngắn nhất như vậy mà chỉ đi qua các đỉnh đã tồn tại trong S. Ðể dễ dàng chi tiết hóa giải thuật, giả sử G có n đỉnh và nhãn trên mỗi cung được lưu trong mảng C, tức là C[i, j] bằng giá trị(có thể xem là độ dài) của cung (i, j). Nếu i và j không có cung nối thì ta cho C[i, j] =Ġ. Ta sẽ dùng một mảng D có n phần tử để lưu độ dài của đường đi ngắn nhất từ v đến mỗi đỉnh của đồ thị. Khởi đầu thì giá trị này chính là độ dài cạnh (v, i), tức D[i] = C[v, i]. Tại mỗi bước của giải thuật thì D[i] sẽ lưu độ dài đường đi ngắn nhất từ đỉnh v đến đỉnh i, đường đi này chỉ đi qua các đỉnh đã có trong S.
Ðể cài đặt giải thuật dễ dàng, ta giả sử các đỉnh của đồ thị được đánh số từ 1 đến n và đỉnh nguồn là đỉnh 1. Dưới đây là giải thuật Dijkstra để giải bài toán trên :

procedure Dijkstra;
begin
S := [1] ; { S chỉ chứa đỉnh nguồn }
for i:=2 to n do
D[i] := C[1, i] ; { Khởi đầu các giá trị cho D }
for i:=1 to n - 1 do
begin
Lấy đỉnh w trong V - S sao cho D[w] là nhỏ nhất ;
Thêm w vào S ;
for mỗi đỉnh u thuộc V - S do
D[u] := Min (D[u], D[w] + C[w, u]) ;
end;
end;

Nếu muốn lưu trữ lại các đỉnh trên đường đi ngắn nhất để có thể xây dựng lại đường đi này từ đỉnh nguồn đến các đỉnh khác, ta dùng một mảng P. Mảng này sẽ lưu P[u] = w với đỉnh u là đỉnh trước của đỉnh w trên đường đi ngắn nhất. Lúc khởi đầu ta cho P[u] = 1, với mọi u khác 1.
Giải thuật Dijkstra ở trên sẽ được viết lại như sau :

procedure Dijkstra ;
begin
S := [1] ; { S chỉ chứa đỉnh nguồn }
for i:=2 to n do
begin
D[i] := C[1, i] ; { Khởi đầu các giá trị cho D }
P[i] := 1 ; { Khởi đầu các giá trị cho P }
end ;
for i:=1 to n - 1 do
begin
Lấy đỉnh w trong V - S sao cho D[w] là nhỏ nhất ;
Thêm w vào S ;
for mỗi đỉnh u thuộc V - S do
if (D[w] + C[w, u] < D [u]) then
begin
D[u] := D[w] + C[w, u] ; P[u] := w ;
end ;
end;
end;

Ví dụ : Áp dụng giải thuật Dijkstra cho đồ thị hình sau: 



procedure DijksTra;
 begin
t:=false;
t[u0]:=true;
d[i]:=c[u0,i];{Neu khong co duong di thi d[i]=i’}
k:=1;{Da ket nap duoc 1 dinh}
while kdo
begin
{Tim min}
min:=i’;
for i:=1 to n do
if (d[i]and(not t[i])then
begin
u:=i;
min:=d[u]
end;
t[u]:=true;{thêm u vao tập đỉnh}
inc(k);
 {Tính lại đường đi}
for i:=1 to n do
if d[i]>d[u]+c[u,i] then
if not((d[i]=i’)and(d[u]=i’)and(c[u,i]=i’)) then
begin
d[i]:=d[u]+c[u,i];
truoc[i]:=u
end
end;
if d[v0]=i’ then
KhongCoDuongDi
else
QuayLaiMangTruocDeTimDuong
end;
URL của bài viết này::http://www.schoolnet.vn/modules.php?name=Sanpham&file=article&sid=2917